Rechtwinkliges Dreieck < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:53 So 15.05.2005 | | Autor: | Lambda |
Und schon wieder ich! Es ist einfach wichtig für meine Klausur. Die folgende Aufgabe verstehe ich überhaupt nicht:
Ein rechtwinkliges Dreieck, dessen Hypotenuse 8 cm lang ist, dreht sich um die Hypotenuse und beschreibt dabei eine Figur, die man sich aus zwei Kegeln zusammengesetzt denken kann. Für welche Kathetenlängen des Dreiecks ist das Volumen dieser figur maximal?
Muss ich dann als Hauptbedingung V= [mm] (\bruch{\pi}{3} [/mm] * r² * h) * 2 nehmen oder etwas anderes und was sind meine Nebenbedingungen?
Kann mir jemand bitte diese Aufgabe erklären?
Danke!
Gruß Lambda
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Hi, Lambda,
> Ein rechtwinkliges Dreieck, dessen Hypotenuse 8 cm lang
> ist, dreht sich um die Hypotenuse und beschreibt dabei eine
> Figur, die man sich aus zwei Kegeln zusammengesetzt denken
> kann. Für welche Kathetenlängen des Dreiecks ist das
> Volumen dieser figur maximal?
>
> Muss ich dann als Hauptbedingung V= [mm](\bruch{\pi}{3}[/mm] * r² *
> h) * 2 nehmen oder etwas anderes
Du kannst doch nicht gleich davon ausgehen, dass die beiden Kegel gleich groß sind! Sie haben lediglich gleichen Grundkreisradius r (= Höhe des Dreiecks), aber verschiedene Höhen a und b!
Dabei gilt allerdings: a + b = 8 (***)
Also: V = [mm] \bruch{1}{3}*\pi*r^{2}*a [/mm] + [mm] \bruch{1}{3}*\pi*r^{2}*b
[/mm]
oder zusammengefasst: V = [mm] \bruch{1}{3}*\pi*r^{2}*(a+b)
[/mm]
bzw. (mit (***): [mm] V=\bruch{8}{3}*\pi*r^{2}
[/mm]
Nun haben wir noch nicht benutzt, dass ein rechtwinkliges Dreieck vorliegt.
In diesem gilt der Höhensatz. Bei uns: [mm] r^{2} [/mm] = a*b
Mit (***) gilt demnach: [mm] r^{2} [/mm] = a*(8 - a).
Und somit: V(a) [mm] =\bruch{8}{3}*\pi*a*(8-a). [/mm] (wobei 0 < a < 8 gilt!)
Hier kannst Du nun "normal" weiterrechnen, also:
Ableitung =0 setzen; a ausrechnen; Beweis für Maximum.
(Zur Kontrolle: Du kriegst a=4 raus und daraus die Kathetenlänge (für beide Katheten gleich!): [mm] 4*\wurzel{2})
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:16 So 15.05.2005 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, Lambda,
die Aufgabe ist kein sehr typisches Beispiel für eine Extremwertaufgabe. Man könnte sie auch ohne Differentialrechnung lösen:
Nachdem wir herausgefunden haben, dass das Volumen V des Drehkörpers nur noch vom Grundkreisradius r abhängt, ist klar, dass das größtmögliche Volumen dann herauskommen muss, wenn der Radius r maximal ist. Im rechtwinkligen Dreieck aber ist die maximale Höhe (auf der Hypotenuse) gleich der halben Hypotenuse: r = 4.
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