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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:14 Di 08.12.2009 | | Autor: | Lughor |
| Aufgabe | Es sei [mm] f(t)=\begin{cases} 1 \mbox{ , wenn t } \in [2k, 2k+1], \mbox{ mit k} \in \IN \cup \{ 0 \} \\
0 \mbox{ sonst} \end{cases}
[/mm]
Wir betrachten die Differentialgleichung x''(t) + x'(t) + 3x(t) = f(t).
(a) Welchen inhaltlichen Sinn hat diese Differentialgleichung?
(b) Klassifizieren Sie die Dgl.
(c) Welche Möglichkeiten sehen Sie, das zugehörige Anfangswertproblem x(0)=0, x'(0)=0 zu lösen, sagen wir für t [mm] \ge [/mm] 0?
(Es geht darum, einen Weg oder gar mehrere Wege zu beschreiben, dabei eine möglichst weitgehende Anweisung zu geben, ohne diese komplett auszuführen.) |
Zu meinen Problemen.
(a) Fällt jemanden mehr Sinn ein als Schwingungsgleichung im Schwingfall?
(b) Dürfte ziemlich klar sein.
Lineare DGL 2. Ord., inhomogen, exlizit (sofort in explizite Form schreibbar) und autonom.
(c) Die homogene Lösung kann man sofort mit der Lösungsformel für die Schwingungsgleichung schreiben. Dann noch die Anfangsbedingung eingesetzt und ich komme auf: x(t)=0 .
Ziemlich langweilig und ich habe mich hoffentlich nicht vertan, aber die Lösung erfüllt die homogene DGL und auch das AWP.
Jetzt aber das Problem mit der speziellen Lösung.
Stückweise ist f(t) konstant, aber trotzdem kann man das Störglied nicht als Konstant betrachten. Würde man die spezielle Lösung zweigeteilt berechnen, so käme man auf x(t)=0 für f(t)=0 und [mm] x(t)=\bruch{1}{3} [/mm] für f(t)=1.
Dann wäre aber x(t) nicht mehr stetig und damit auch nicht mehr diffbar.
Da aber die Lösung nur auf einem Intervall erklärt ist, wäre sie nur auf [0,1) für k=0 bzw. auf [0,2k) sonst erklärt.
Was meint ihr?
Kennt ihr andere Lösungswege?
Ergeben meine Ausführungen soweit Sinn?
Würde mich über baldige Hilfe freuen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:41 Di 08.12.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich seh nur den Weg, f(t) in ne Fourrierreihe zu entwickeln, und dann mit mehr oder weniger vielen gliedern zu arbeiten.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:28 Di 08.12.2009 | | Autor: | Lughor |
Fourierreihen sind leider nicht Thema der Vorlesung, daher auch als Lösung nicht so ideal. Allerdings sind Reihen und Funktionenfolgen durchaus Thema, so dass solche Ansätze möglich wären.
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