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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:47 Mo 03.07.2006 | | Autor: | almsen |
| Aufgabe | Berechne ( ( x + 1 ) * ( x² + 1 ) * ( x² + 2*x + 2 ) [mm] )^{-2} [/mm] in GF(3)[x]/ x³ + 2.
Warum ist dieser Polynomring kein Körper? |
Hallo und einen schönen Guten Abend!
Ich hab mal ein Frage, und zwar sollen wir folgendes ausrechnen!
Nur hab ich jetzt echt alle meine Möglichkeiten probiert.
Vllt. kann mir einer von euch helfen!
Mfg
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:29 Mo 03.07.2006 | | Autor: | Jan_Z |
Hi!
Du sollst ja das multiplikativ Inverse von dem Polynom $f(x):=(( x + 1 )( x² + 1 )( x² + 2x + [mm] 2))^{2}$ [/mm] bestimmen, d.h. ein $g(x)$ mit [mm] $f(x)g(x)\equiv [/mm] 1$ mod [mm] $x^3+2$. [/mm] Damit es ein solches gibt, musst du mit dem euklidischen Algorithmus nachprüfen, dass $f(x)$ und [mm] $x^3+2$ [/mm] ggT 1 haben. Du erhälst aus dem Algorithmus durch Rückeinsetzen eine Darstellung [mm] $1=(x^3+2)a(x)+f(x)b(x)$ [/mm] mit Polynomen $a$ und $b$. Nun ist aber [mm] $-a(x)(x^3+2)+1=f(x)b(x)$, [/mm] also ist $b(x)=g(x)$ das gesuchte multiplikativ. Inverse. Dass der Polynomring kein Körper ist, folgt daraus, dass [mm] $x^3+2$ [/mm] kein Maximalideal erzeugt.
Viele Grüße,
Jan
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