Rechnen mit der Einheitskreiss < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:47 Mo 28.05.2007 | | Autor: | damien23 |
| Aufgabe | S sei die Einheitskreisscheibe im [mm] R^{2}, [/mm] P ein auf s uniform verteilter zufälliger Punkt und r dessen Entfernung vom Ursprung.
Berechne den Erwartungswert, die Varianz und die Verteilungsdichte von r
Was ist die Wahrscheinlichkeit, dass r um mehr als 0,1 von seinem Erwartungswert abweicht? Vergleichen sie dieses Ergebnis mit der
Tschebyscheff- Schranke. |
Hey Leute ich hoffe ihr könnt mir helfen.
Stehe bei dieser Fragestellung volkommen auf dem Schlauch.
Habe mir das ganze versucht grafisch klarzumachen, dass ist ja nicht schwer und auch recht logisch. Leider bekomme ich den Übergang in die Stochastik nicht hin. Bin für jeden Tip dankbar.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Sollte ich irgendetwas falsch gemacht haben, weißt mich bitte darauf hin.
mfg
damien
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:28 Mo 28.05.2007 | | Autor: | Riley |
Hi Damien,
Ich denke für diese Aufgabe brauchst du den Transfosatz mit der Determinante.
Zunächst gilt ja für den Kreis: [mm] K=\{ (x,y) \in R^2: x^2+y^2 \leq r \}, [/mm] das hast du wohl in deiner Skizze schon gesehen.
Für den Abstand eines Punktes zum Ursprung gilt nun R= [mm] \sqrt{x^2+y^2}.
[/mm]
Wenn du das eingezeichnet hast, kannst du ja folgendes ablesen:
[mm] tan(\psi) [/mm] = [mm] \frac{y}{x}, [/mm] d.h. [mm] \psi [/mm] = ...
[mm] cos(\psi)= \frac{x}{r}, [/mm] d.h. x=...
[mm] sin(\psi) [/mm] = [mm] \frac{y}{r}, [/mm] d.h. y =...
dann können wir zu Polarkoordinaten übergehen:
h(X,Y) = (R, [mm] \psi) [/mm] = ( [mm] \sqrt{X^2 + y^2}, arctan(\frac{x}{y})), [/mm] wobei
h: [mm] R^2 [/mm] -> [0, [mm] \infty) [/mm] x [ O, [mm] 2\pi]
[/mm]
Für den Transfosatz brauchen wir nun die Umkehrfunktion von h, nennen wir sie mal u: [0, [mm] \infty) [/mm] x [0, [mm] 2\pi) [/mm] -> [mm] R^2
[/mm]
mit u(R, [mm] \psi) [/mm] = (r [mm] cos(\psi), [/mm] r [mm] sin(\psi)) [/mm] = [mm] (u_1(r \psi), u_2(r \psi)).
[/mm]
Jetzt kannst du die Jacobi-Matrix [mm] J_u(r, \psi) [/mm] bilden und deren Determinante berechnen.
(R, [mm] \psi) [/mm] hat dann die Dichte:
[mm] g(R,\psi) [/mm] = |det [mm] J_u(r,\psi)| f(u_1(r,\psi),u_2(r,\psi)) [/mm] , falls [mm] (r,\psi) \in [0,\infty) [/mm] x [0,2 [mm] \pi). [/mm] (0 sonst)
R hat dann die Marginaldichte [mm] g_R(r) [/mm] = [mm] \int_{-\infty}^{\infty} g(r,\psi) d\psi=...
[/mm]
E[R]= [mm] \int_{-\infty}^{\infty} g_R(r) [/mm] r dr=...
Var[R] = [mm] \int_{-\infty^}^{\infty} [/mm] (r - [mm] E[R])^2 g_R(r) [/mm] dr=...
Viele Grüße,
Riley
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:14 Mo 28.05.2007 | | Autor: | damien23 |
Danke für die schnelle Antwort.
Kannst du mir das mit der Jacobi-Matrix wohl etwas genauer erläutern, denn in unserer Vorlesung wurde sie noch nicht angesprochen.
Habe mir mal Gedanken zu der Verteilungsdichte gemacht.
sie muss ja folgende Eigenschaften erfüllen
1.) [mm] f(x)\ge0 \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] R
2.) [mm] \integral_{\-infty}^{\infty}{f(x) dx}=1
[/mm]
3.) [mm] P(a\le x\le b)=\integral_{a}^{b}{f(x) dx}
[/mm]
1.) und 2.) sind klar aber 3.) verstehe ich noch nicht ganz
Es wäre ja dann [mm] P(r\ge [/mm] a)= eine [mm] Stammfunktion=\integral_{a}^{1}{f(x) dx}.Wie [/mm] lautet diese Stammfunktion bzw was muss ich aufleiten
mfg
damien
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:34 Mo 28.05.2007 | | Autor: | Riley |
Hi,
also die Jacobimatrix berechnet sich ganz einfach so:
[mm] J=\pmat{ \frac{du_1}{dr}(r,\psi) & \frac{du_1}{d\psi}(r,\psi) \\ \frac{du_2}{dr}(r,\psi) & \frac{du_2}{d\psi}(r,\psi)}
[/mm]
also einfach die partiellen Ableitungen bilden, ist dir das nun klar?
zu 3.) Ich versteh deine Frage nicht so ganz. Ich mein man kann die Wkeiten halt übers Integral ausrechnen...
Viele Grüße,
Riley
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:29 Di 29.05.2007 | | Autor: | damien23 |
Hey sorry. die Frage war etwas doof gestellt.
Frage mich wie die Funktion lautet die ich aufstellen soll.
Ist das [mm] h(R,\partial)? [/mm] Falls ja was sagt mir das über das zu bestimmende
Integral
mfg
damien
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:02 Di 29.05.2007 | | Autor: | damien23 |
habe es verstanden danke
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