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Hallo,
erstmal:
Warum ist [mm] |\summe_{j}\bruch{\partial\vec{r}}{\partial x^{j}}dx^{j}|^{2} [/mm] = [mm] \summe_{ij}\bruch{\partial\vec{r}}{\partial x^{j}}\bruch{\partial\vec{r}}{\partial x^{i}}dx^{i}dx^{j} [/mm] ?
Es geht hier um allgemeine, krummlinige Koordinaten und den Tensor [mm] g_{ij}=\bruch{\partial\vec{r}}{\partial x^{j}}\bruch{\partial\vec{r}}{\partial x^{i}}=\vec{e_{i}}\vec{e_{j}} [/mm]
Meine zweite Frage ist: Die Basisvektoren sind nicht orthogonal, richtig? Weil sonst wär ja g immer Null (sofern zwischen [mm] \vec{e_{i}} [/mm] und [mm] \vec{e_{j}} [/mm] ein Skalarproduktzeichen gehört?
Und drittens: Warum ist für den Fall, dass man die Basisvektoren der Polarkoordinaten [mm] \vec{e_{1}}=\vektor{cos\phi \\ sin\phi} [/mm] und [mm] \vec{e_{2}}=\vektor{-sin\phi \\ cos\phi} [/mm] wähl, [mm] g_{ij}=\vec{e_{i}}\vec{e_{j}}= \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & r^{2} } [/mm] Wieso so eine Matrix? Ich erkenne darin nur: [mm] \pmat{ |\vec{e_{i}}|^{2} & 0 \\ 0 & |\vec{e_{j}}|{2} }Aber [/mm] kann mir das nicht erklären...
Und dann meine letzte Frage:
Und warum wird dann:
[mm] \summe_{ij}g_{ij}dx^{i}dx^{j}= \summe_{ij}\bruch{\partial\vec{r}}{\partial x^{j}}\bruch{\partial\vec{r}}{\partial x^{i}}dx^{i}dx^{j}=1(dr)^{2}+r^{2}(d\phi)^{2} [/mm] Wie wird hier dieses [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & r^{2} } [/mm] verwendet?
Vielen Dank!
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:10 Mo 27.10.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo,
> erstmal:
> Warum ist [mm]|\summe_{j}\bruch{\partial\vec{r}}{\partial x^{j}}dx^{j}|^{2} = \summe_{ij}\bruch{\partial\vec{r}}{\partial x^{j}}\bruch{\partial\vec{r}}{\partial x^{i}}dx^{i}dx^{j}[/mm] ?
Das ist nur die Umbennung des Summationsindex, wenn du das Quadrat ausschreibst:
[mm] \left|\summe_{j}\bruch{\partial\vec{r}}{\partial x^{j}}dx^{j}\right|^{2}
= \left(\summe_{j}\bruch{\partial\vec{r}}{\partial x^{j}}dx^{j}\right) * \left(\summe_{j}\bruch{\partial\vec{r}}{\partial x^{j}}dx^{j} \right)
= \left(\summe_{i}\bruch{\partial\vec{r}}{\partial x^{i}}dx^{i}\right) * \left(\summe_{j}\bruch{\partial\vec{r}}{\partial x^{j}}dx^{j} \right)
= \summe_{ij}\bruch{\partial\vec{r}}{\partial x^{j}}\bruch{\partial\vec{r}}{\partial x^{i}}dx^{i}dx^{j}
[/mm]
> Es geht hier um allgemeine, krummlinige Koordinaten und
> den Tensor [mm]g_{ij}=\bruch{\partial\vec{r}}{\partial x^{j}}\bruch{\partial\vec{r}}{\partial x^{i}}=\vec{e_{i}}\vec{e_{j}}[/mm]
Das letzte Gleichheitszeichen versteh ich nicht, jedenfalls, wenn du damit die Einheitsvektoren meinst, denn
[mm] \bruch{\partial\vec{r}}{\partial x^{i}} \not= \vec{e}_i [/mm]
Die linke Seite [mm] \bruch{\partial\vec{r}}{\partial x^{i}}[/mm] ist im Allgemeinen kein Einheitsvektor. Allerdings bekommt man die Eiheitsvektoren in krummlinigen, orthogonalen Koordinaten, wenn man auf 1 normiert:
[mm] \vec{e}_i = \bruch{\bruch{\partial\vec{r}}{\partial x^{i}}}{\left|\bruch{\partial\vec{r}}{\partial x^{i}}\right|} [/mm]
>
> Meine zweite Frage ist: Die Basisvektoren sind nicht
> orthogonal, richtig? Weil sonst wär ja g immer Null (sofern
> zwischen [mm]\vec{e_{i}}[/mm] und [mm]\vec{e_{j}}[/mm] ein
> Skalarproduktzeichen gehört?
Wenn es sich um orthogonale krummlinige Koordinaten handelt, sind die Einheitsvektoren orthogonal.
> Und drittens: Warum ist für den Fall, dass man die
> Basisvektoren der Polarkoordinaten
> [mm]\vec{e_{1}}=\vektor{cos\phi \\ sin\phi}[/mm] und
> [mm]\vec{e_{2}}=\vektor{-sin\phi \\ cos\phi}[/mm] wähl,
> [mm]g_{ij}=\vec{e_{i}}\vec{e_{j}}= \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & r^{2} }[/mm]
Das sind nicht die Einheitsvektoren der Polarkoordinaten, denn hier ist
[mm] \bruch{\partial\vec{r}}{\partial r} = \vektor{\cos\phi \\ \sin\phi} [/mm]
und
[mm] \bruch{\partial\vec{r}}{\partial \phi} = \vektor{-r \sin\phi \\ r\cos\phi} [/mm]
Die sind orthogonal, aber der zweite ist kein Einheitsvektor.
Wenn du das einsetzt, ist [mm] $g_{12} [/mm] = [mm] g_{21} [/mm] = 0 $ und [mm] $g_{11}=1$, $g_{22}=r^2$.
[/mm]
> Wieso so eine Matrix? Ich erkenne darin nur: [mm]\pmat{ |\vec{e_{i}}|^{2} & 0 \\ 0 & |\vec{e_{j}}|{2} }Aber[/mm]
> kann mir das nicht erklären...
Wie gesagt, du nimmst hier an, dass da Einheitsvektoren stehen.
> Und dann meine letzte Frage:
> Und warum wird dann:
> [mm]\summe_{ij}g_{ij}dx^{i}dx^{j}= \summe_{ij}\bruch{\partial\vec{r}}{\partial x^{j}}\bruch{\partial\vec{r}}{\partial x^{i}}dx^{i}dx^{j}=1(dr)^{2}+r^{2}(d\phi)^{2}[/mm]
> Wie wird hier dieses [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & r^{2} }[/mm]
> verwendet?
Einfach eingesetzt:
[mm] \summe_{ij}g_{ij}dx^{i}dx^{j} = g_{11} dx^1 dx^1 + g_{12} dx^1 dx^2 + g_{21} dx^2 dx^1 + g_{22} dx^2 dx^2 = 1* dx^1 dx^1+r^2 * dx^2 dx^2 = 1(dr)^{2}+r^{2}(d\phi)^{2}[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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