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Hallo, habe noch ein paar probleme beim rechnen mit summen. vielleicht hat ja jemand lust, mir paar dinge zu erklären und dabei auch tipps zu geben.
1) [mm] z^{-1}\summe_{n=0}^{\infty} z^{-n}=z^{-1}\summe_{n=0}^{-\infty} z^{n}
[/mm]
So, hier die erste frage. ist das eine regel, wenn ich bei [mm] z^{-n} [/mm] im exponenten das vorzeichen änder, dass sich dann oben in der summe auch das vorzeichen ändernt??? [mm] (-\infty)
[/mm]
2) [mm] z^{-1}\summe_{n=0}^{\infty} z^{-n}=z^{-1}\summe_{n=0}^{-\infty} z^{n}=\summe_{n=-1}^{-\infty} z^{n}
[/mm]
so, wie kommt hier der letzte summand zu stande?? ich würde das anders machen: [mm] z^{-1}\summe_{n=0}^{-\infty} z^{n}=z^{-1} z^{-1} [/mm] + [mm] z^{-1}\summe_{n=-1}^{-\infty} z^{n}=z^{-2}+z^{-1}\summe_{n=-1}^{-\infty} z^{n}, [/mm] wo steckt der fehler???
3) [mm] \summe_{n=0}^{-\infty}2^{-n-1} z^{n-1} [/mm] = [mm] \summe_{n=-1}^{-\infty}2^{-n-2} z^{n}
[/mm]
So,hier auch, wenn ich 1 dazu zähle, kann kriege ich ja richtig bei [mm] z^{n-1} =z^n, [/mm] aber bei dem ersten teil würde ich was anderes herauskriegen: [mm] 2^{-n-1+1}=2^{-n}, [/mm] auch hier, wo steckt der fehler??
4) [mm] (1/z)z^{-1} [/mm] + [mm] \summe_{n=0}^{\infty}z^n [/mm] - [mm] \summe_{n=0}^{\infty}(1/4)2^{-n} z^n
[/mm]
= [mm] \summe_{n=-1}^{-1}2^n z^n [/mm] + [mm] \summe_{n=0}^{\infty} (1-(1/4)2^{-n})z^n
[/mm]
= [mm] \summe_{n=-1}^{\infty} (1-(1/4)2^{-n})z^n
[/mm]
So,diese beiden Schritt kann ich gerade überhaupt nicht nachvollziehen, wie die zustanden kommen.
Und vor allem diese -1 einmal da oben.
So,bis hier her erstmal, damits nicht zu viel wird. Danke für erklärungen.
Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:59 Mo 30.03.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo Jarulenking
Warum schreibst du die Summen nicht fuer die erste 2 bis vier Glieder jeweils aus? Dann siehst du sofort, wie es laeuft.
Indexwechsel: Beispiel
[mm] \summe_{i=1}^{\infty}a_i
[/mm]
setze n=i+2 ->i=n-2 aus i=1 folgt n=3
[mm] \summe_{i=1}^{\infty}a_i=\summe_{n=3}^{\infty}a_{n-2}
[/mm]
am Ende kannst du wieder statt n=i schreiben.
So kann man mit allen Indexverschiebungen umgehen.
Gruss leduart
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Hi, danke erstmal für deine antwort.
Aber irgendwie habe ich damit leider nicht meine fragen beantworten können. Habe es probiert, aber irgendwie mache ich wohl immer den gleichen fehler, wie ich es auch oben schon gemacht habe :-(.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:57 Di 31.03.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo jarulenking
zu 1) ja
zu 2)
$ [mm] z^{-1}\summe_{n=0}^{\infty} z^{-n}=z^{-1}\summe_{n=0}^{-\infty} z^{n}=\summe_{n=-1}^{-\infty} z^{n} [/mm] $
[mm] $z^{-1}\summe_{n=0}^{-\infty} z^{n}=\summe_{n=0}^{-\infty} z^{n-1}$
[/mm]
jetzt n-1=i i=n+1 n=0 -> i=-1 damit
[mm] $\summe_{n=0}^{-\infty} z^{n-1}=\summe_{i=-1}^{-\infty} z^i$
[/mm]
und ob i oder n ist danach egal.
falsch ist was du gemacht hast nicht, aber du willst ja gern eine Summe.
bei 3 entsprechend vorgehen.
bei 4 hast du was falsches geschrieben: wenn die Umformung richtig sein soll muss da stehen
[mm] $(1/2)*z^{-1}=2^{-1}*z^{-1}$
[/mm]
wenn man das will kann man dafuer natuerlich auch schreiben
[mm] $2^{-1}*z^{-1}= \summe_{n=-1}^{-1}2^n z^n [/mm] $
genau, wie du fuer [mm] a^3 [/mm] auch schreiben kannst
$ [mm] \summe_{n=3}^{3}a^n [/mm] $
find ich ueberflussig, ist aber nicht falsch.
Dann rechne das erste Glied (n=-1) deiner Summemal aus, und ueberzeug dich.
Gruss leduart
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Hi,
danke für deine erklärungen erstmal. habe versucht, dein beispiel dann auch auf (3) $ [mm] \summe_{n=0}^{-\infty}2^{-n-1} z^{n-1} [/mm] $ = $ [mm] \summe_{n=-1}^{-\infty}2^{-n-2} z^{n} [/mm] $ anzuwenden, aber irgendwie klappts nicht.
Sei (n-1)=i und dann mit n=0 folgt: i=-1 und dann
$ [mm] \summe_{n=0}^{-\infty}2^{-n-1} z^{n-1} [/mm] $ = $ [mm] \summe_{i=-1}^{-\infty}2^{-i} z^{i} [/mm] $, so kriege ich bei [mm] 2^{-i} [/mm] wieder nicht [mm] 2^{-i-2} [/mm] hin, mit [mm] z^i [/mm] klappts ja wieder. Wo steckt der wurm  ???
Grüße
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Hallo jaruleking,
> Hi,
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> danke für deine erklärungen erstmal. habe versucht, dein
> beispiel dann auch auf (3) [mm]\summe_{n=0}^{-\infty}2^{-n-1} z^{n-1}[/mm]
> = [mm]\summe_{n=-1}^{-\infty}2^{-n-2} z^{n}[/mm] anzuwenden, aber
> irgendwie klappts nicht.
>
> Sei (n-1)=i und dann mit n=0 folgt: i=-1 und dann
>
> [mm]\summe_{n=0}^{-\infty}2^{-n-1} z^{n-1}[/mm] =
> [mm]\summe_{i=-1}^{-\infty}2^{-i} z^{i} [/mm], so kriege ich bei
> [mm]2^{-i}[/mm] wieder nicht [mm]2^{-i-2}[/mm] hin, mit [mm]z^i[/mm] klappts ja
> wieder. Wo steckt der wurm ???
[mm]\summe_{n=0}^{-\infty}2^{-n-1} z^{n-1} = \summe_{n=0}^{-\infty}2^{-\left(n+1\right)} z^{n-1}[/mm]
Nun ist [mm]i=n-1 \Rightarrow n=i+1[/mm]
Damit folgt
[mm]\summe_{n=0}^{-\infty}2^{-\left(n+1\right)} z^{n-1}=\summe_{i=-1}^{-\infty}2^{-\left(i+1+1\right)} z^{i}[/mm]
>
>
> Grüße
>
>
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:44 Mi 01.04.2009 | | Autor: | jaruleking |
Ok,
besten danke erstmal.
grüße
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