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| Aufgabe | Es sei [mm] \left\{ b_n \right\} [/mm] eine konvergente Folge mit [mm] b_n \not= [/mm] 0 für alle n [mm] \in \IN [/mm] und mit dem Grenzwert B [mm] \not= [/mm] 0.
Zu zeigen: [mm] \lim_{n \to \infty}\bruch{1}{b_n}=\bruch{1}{B} [/mm] |
Hallo!
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe zu dieser Aufgabe einen Beweis, jedoch Schwierigkeiten, die einzelnen Schritte nachzuvollziehen.
B [mm] \not= [/mm] 0 [mm] \Rightarrow \bruch {\left| B \right| }{2} [/mm] > 0
Nach der Definition von konvergent gibt es für jedes [mm] \varepsilon [/mm] ein N [mm] \in \IN [/mm] für das gilt,
[mm] d(b_n, [/mm] B) < [mm] \varepsilon
[/mm]
= [mm] {\left| b_n - B \right| } [/mm] < [mm] \bruch {\left| B \right| }{2} \forall [/mm] n [mm] \ge [/mm] N
Hier wird also [mm] \varepsilon [/mm] = [mm] \bruch {\left| B \right| }{2} [/mm] gesetzt, dass ist so weit klar. Aber warum darf man n [mm] \ge [/mm] N setzen? Ich dachte, dies gilt nur für n > N.
[mm] \Rightarrow {\left| b_n \right| } \ge \bruch {\left| B \right| }{2} [/mm] mit [mm] b_n \not= [/mm] o für n [mm] \ge [/mm] N
Diesen Schritt verstehe ich nicht, wie kann man das folgern?
Zu einem vorgegebenen [mm] \varepsilon [/mm] > 0 gibt es ein [mm] N_1 \in \IN, [/mm] so dass
[mm] {\left| b_n - B \right| } [/mm] < [mm] \bruch {\varepsilon \cdot \left| B \right|^2 }{2} \forall [/mm] n [mm] \ge N_1
[/mm]
Der Schritt ist wieder klar, hier wird genau wie oben einfach [mm] \varepsilon [/mm] = [mm] \bruch {\varepsilon \cdot \left| B \right|^2 }{2} [/mm] gesetzt.
Dann gilt für n [mm] \ge N_1 [/mm] := max (N, [mm] N_1).
[/mm]
Die Aussage ist wieder klar.
Nun werden die bisher erworbenen Zwischenergebnisse eingesetzt:
[mm] {\left| \bruch{1}{b_n} - \bruch{1}{B} \right| }
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{\left| b_n \right| \cdot \left| B \right|} \cdot \left| B - b_n \right|
[/mm]
< [mm] \bruch{2}{ \left| b \right|^2 } \cdot \bruch{ \varepsilon \left| B \right|^2 }{2} [/mm] (Hier werden die obigen Zwischenergebnisse eingebracht)
= [mm] \varepsilon
[/mm]
Dieser Teil ist mir wieder klar.
So ich hoffe ich habe mich deutlich ausgedrückt und bedanke mich schon mal für die Hilfe.
Lg Wiebke
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:53 Mo 17.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Es sei [mm]\left\{ b_n \right\}[/mm] eine konvergente Folge mit [mm]b_n \not=[/mm]
> 0 für alle n [mm]\in \IN[/mm] und mit dem Grenzwert B [mm]\not=[/mm] 0.
> Zu zeigen: [mm]\lim_{n \to \infty}\bruch{1}{b_n}=\bruch{1}{B}[/mm]
>
> Hallo!
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Ich habe zu dieser Aufgabe einen Beweis, jedoch
> Schwierigkeiten, die einzelnen Schritte nachzuvollziehen.
>
> B [mm]\not=[/mm] 0 [mm]\Rightarrow \bruch {\left| B \right| }{2}[/mm] > 0
>
> Nach der Definition von konvergent gibt es für jedes
> [mm]\varepsilon[/mm] ein N [mm]\in \IN[/mm] für das gilt,
>
> [mm]d(b_n,[/mm] B) < [mm]\varepsilon[/mm]
> = [mm]{\left| b_n - B \right| }[/mm] < [mm]\bruch {\left| B \right| }{2} \forall[/mm]
> n [mm]\ge[/mm] N
das "=" Zeichen oben kann man falsch lesen. Du meinst es aber hier vermutlich so, dass mit [mm] $\varepsilon:=\bruch {\left| B \right| }{2}$ [/mm] und [mm] $d(b_n,B)=|B-b_n|$ [/mm] gilt:
[mm] $$d(b_n,B) [/mm] < [mm] \varepsilon\;\;\; \forall [/mm] n [mm] \ge [/mm] N$$
[mm] $$\gdw{\left| b_n - B \right| }< \bruch {\left| B \right| }{2}\;\;\;\forall [/mm] n [mm] \ge [/mm] N$$
> Hier wird also [mm]\varepsilon[/mm] = [mm]\bruch {\left| B \right| }{2}[/mm]
> gesetzt, dass ist so weit klar. Aber warum darf man n [mm]\ge[/mm] N
> setzen? Ich dachte, dies gilt nur für n > N.
das ist unwichtig (oben hast Du aber doch selbst [mm] $\forall [/mm] n [mm] \ge [/mm] N$ geschrieben?). Dann schreibe oben halt $n [mm] \ge N+1\,$ [/mm] oder $n [mm] \,>\, [/mm] N$ anstatt $n [mm] \ge N\,.$
[/mm]
Genauso ist es übrigens unwichtig, ob man sagt: [mm] $(a_n)_n$ [/mm] genau dann konvergent, wenn es ein [mm] $\,a\,$ [/mm] gibt, so dass für alle [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ ein [mm] $N=N(\varepsilon) \in \IN$ [/mm] gibt mit [mm] $|a_n-a| [/mm] < [mm] \varepsilon$ [/mm] für alle $n > N$; oder ob man da [mm] $|a_n-a| \le \varepsilon$ [/mm] fordert. Diese Aussagen sind äquivalent.
> [mm]\Rightarrow {\left| b_n \right| } \ge \bruch {\left| B \right| }{2}[/mm]
> mit [mm]b_n \not=[/mm] o für n [mm]\ge[/mm] N
> Diesen Schritt verstehe ich nicht, wie kann man das
> folgern?
Das folgt sofort mit der Dreiecksungleichung:
$$|B| [mm] \le |B-b_n|+|b_n|$$
[/mm]
unter Verwendung von [mm] $|B-b_n| \le \frac{|B|}{2}$ [/mm] ($n [mm] \ge [/mm] N$)
(Nur der Ergänzung wegen: Aus [mm] $|B-b_n| [/mm] < [mm] \frac{|B|}{2}$ [/mm] ($n [mm] \ge [/mm] N$) folgt natürlich auch [mm] $|B-b_n| \le \frac{|B|}{2}$ [/mm] ($n [mm] \ge [/mm] N$).)
> Zu einem vorgegebenen [mm]\varepsilon[/mm] > 0 gibt es ein [mm]N_1 \in \IN,[/mm]
> so dass
> [mm]{\left| b_n - B \right| }[/mm] < [mm]\bruch {\varepsilon \cdot \left| B \right|^2 }{2} \forall[/mm]
> n [mm]\ge N_1[/mm]
> Der Schritt ist wieder klar, hier wird genau wie
> oben einfach [mm]\varepsilon[/mm] = [mm]\bruch {\varepsilon \cdot \left| B \right|^2 }{2}[/mm]
> gesetzt.
Ja, aber beachten sollte man (auch oben) schon, dass $|B| [mm] \,>\, [/mm] 0$.
(P.S.: In der Definition von [mm] "$(a_n)_n$ [/mm] konvergent gegen [mm] $\,a\,$" [/mm] darf man natürlich nicht sagen: Wenn für alle [mm] $\varepsilon \red{\ge} [/mm] 0$ gilt..." An der Stelle des roten [mm] $\ge$ [/mm] muss da nun wirklich das $>$ stehen!)
> Dann gilt für n [mm]\ge \red{N_1}[/mm] := max (N, [mm]N_1).[/mm]
Da sollte anstelle des rotmarkierten [mm] $N_1$ [/mm] sicher etwas anderes stehen, vll. [mm] $N_2$? [/mm] Ich meine: [mm] $\red{a}:=\text{max}\{\red{a},\;b\}$ [/mm] ist mathematisch schlecht (man könnte es höchstens wie in der Informatik auffassen, also innerhalb einer Programmiersprache findet man so etwas sicherlich).
> Die Aussage ist wieder klar.
>
> Nun werden die bisher erworbenen Zwischenergebnisse
> eingesetzt:
>
> [mm]{\left| \bruch{1}{b_n} - \bruch{1}{B} \right| }[/mm]
> =
> [mm]\bruch{1}{\left| b_n \right| \cdot \left| B \right|} \cdot \left| B - b_n \right|[/mm]
>
> < [mm]\bruch{2}{ \left| b \right|^2 } \cdot \bruch{ \varepsilon \left| B \right|^2 }{2}[/mm]
> (Hier werden die obigen Zwischenergebnisse eingebracht)
> = [mm]\varepsilon[/mm]
>
> Dieser Teil ist mir wieder klar.
>
> So ich hoffe ich habe mich deutlich ausgedrückt und bedanke
> mich schon mal für die Hilfe.
Falls ich noch eine Frage übersehen habe, dann stelle sie bitte erneut. Es wäre vll. hilfreich, Fragen farbig zu markieren, damit man keine übersieht. 
(Dass und wie man das innerhalb von [mm] $\red{Formeln}$ [/mm] machen kann, erkennst Du, wenn Du den Quelltext anklickst. Und [mm] $\red{\text{Texte innerhalb von Fomreln solltest Du mit dem Befehl }}$ [nomm]$\text{}$[/nomm] [/mm] schreiben. Ansonsten hat man etwas Huddel mit den Leerzeichen (da könntest Du Dir aber notfalls auch mit [mm] [nomm]$\;$[/nomm] [/mm] behelfen, dieser Befehl erzwingt einen kleinen Abstand)). Außerdem: Anstatt der Doppel-m's kannst Du um eine Formel auch je ein Dollarzeichen setzen.
P.S.:
Einen (allerdings im Prinzip gleichen) Beweis Deiner Aussage findest Du auch ![[]](/images/popup.gif) hier, im Beweis zu Satz 5.5 der dritte Teil, Teil a). Wie gesagt: Prinzipiell ist es der gleiche Beweis, aber Deine zweite Frage von oben wurde dort mitbeantwortet (wobei das, was da gemacht wird, im Prinzip auch nichts anderes ist als das, was ich oben geschrieben habe).
Gruß,
Marcel
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