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| Aufgabe | [mm] n\ge3
[/mm]
3*3!+4*4!+...+n*n!=(n+1)!-6 |
Hi,
ich versuche gerade eine vollständige Induktion herzuleiten.
Allerdings komme ich beim rechnen mit den Fakultäten nicht weiter.
Soweit bin ich momentan beim Induktionsschluß:
(n+1)!-6+(n+1)(n+1)! = (n+2)!-6
Was muß ich mit der linken Seite machen?
Ist (n+1)*(n+1)! = (n+2)! ? Wenn ja was geschieht dann mit dem zweiten (n+1)?
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> [mm]n\ge3[/mm]
> 3*3!+4*4!+...+n*n!=(n+1)!-6
> Hi,
>
> ich versuche gerade eine vollständige Induktion
> herzuleiten.
> Allerdings komme ich beim rechnen mit den Fakultäten
> nicht weiter.
>
> Soweit bin ich momentan beim Induktionsschluß:
> (n+1)!-6+(n+1)(n+1)! = (n+2)!-6
dies ist die zu beweisende Gleichung im Induktionsschritt
>
> Was muß ich mit der linken Seite machen?
> Ist (n+1)*(n+1)! = (n+2)! ?
Nein.
$\ (n+2)!\ =\ [mm] \underbrace{1*2*3*\,......*n*(n+1)}_{(n+1)!}*(n+2)$ [/mm]
Links hast du einerseits den Summanden -6, welcher
rechts ja auch vorkommt und ausserdem zwei weitere
Summanden, aus welchen du die Fakultät (n+1)!
ausklammern kannst. Tue dies, und du bist schon
fast am Ziel.
Vergiss auch die Verankerung der Induktion nicht !
LG Al-Chw.
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Danke für die Antwort.
Leider ist mir nicht klar wie ich eine Fakultät ausklammern kann. Hilfst du mir bitte mal auf die Sprünge. :)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:09 Mi 07.10.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Setze das ganze am besten in eine Gleichungskette.
Also:
$ [mm] 3*3!+4*4!+\ldots+n*n!+(n+1)(n+1)! [/mm] $
$ [mm] =(n+1)!-6+(n+1)\cdot(n+1)! [/mm] $ (Das hast du ja schon gezeigt, oder?)
$ [mm] =\left((n+1)!+(n+1)(n+1)!\right)-6 [/mm] $
$ [mm] =\left(\left[1-(n+1)\right]*(n-1)!\right)-6 [/mm] $
Marius
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> Hallo
>
> Setze das ganze am besten in eine Gleichungskette.
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> Also:
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> [mm]3*3!+4*4!+\ldots+n*n!+(n+1)(n+1)![/mm]
> [mm]=(n+1)!-6+(n+1)\cdot(n+1)![/mm] (Das hast du ja schon gezeigt,
> oder?)
> [mm]=\left((n+1)!+(n+1)(n+1)!\right)-6[/mm]
> [mm]=\left(\left[1 +(n+1)\right]*(n+1)!\right)-6[/mm]
>
>
> Marius
Von der letzen zur vorletzten Zeile sind zwei Vorzeichenfehler. Die Minusse müssen ein Plus sein.
Grüße
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> [mm]=\left((n+1)!+(n+1)(n+1)!\right)-6[/mm]
> [mm]=\left(\left[1+(n+1)\right]*(n+1)!\right)-6[/mm]
Hab gerade die Korrekturmitteilung gesehen. Aber auch wenn die Minusse Plusse sind, steh ich immer noch aufm Schlauch. Ich weiß nicht wie ich von der oberen Zeile zur unteren kommen soll. Und dann auch noch zu (n+2)!-6 :(
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:32 Mi 07.10.2009 | | Autor: | blascowitz |
Siehe Korrekturmitteilung
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:00 Mi 07.10.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Riddler!
Es wurde doch mehrfach gesagt: durch Ausklammern. Dies kann man mit Faktoren machen, welche in allen Summanden enthalten sind:
$$...= \ [mm] \left[(n+1)!+(n+1)*(n+1)!\right]-6$$
[/mm]
$$= \ [mm] \left[\blue{1}*\red{(n+1)!} \ + \ \green{(n+1)}*\red{(n+1)!}\right]-6$$
[/mm]
$$= \ [mm] \left[\left[\blue{1}+\green{(n+1)}\right]*\red{(n+1)!}\right]-6$$
[/mm]
Nun den grünen und den blauen Term zusammenfassen und eine Eigenschaft der Fakultät verwenden.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:26 Di 04.05.2010 | | Autor: | C_Jogi |
Ich steh wie mein Vorredner irgendwie total auf dem Schlauch wie genau komm ich jetzt auf (n+2)!-6 ?
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Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
> Ich steh wie mein Vorredner irgendwie total auf dem
> Schlauch wie genau komm ich jetzt auf (n+2)!-6 ?
Das Ausklammern hat Loddar ja sehr hübsch in Farbe vorgemacht.
Nun ist 1+(n+1)=n+2,
und (n+2)*(n+1)!=(n+2)*(n+1)*n*(n-1)*...*3*2*1= (n+2)!.
Gruß v. Angela
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