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Hallo,
ich habe hier zwei Ableitungen, jedoch hänge ich an jeweils einer Stelle.
f(x)= [mm] \bruch {x^4}{ln x} [/mm] Mit Quotientenregel komme ich auf: f'(x)= [mm] \bruch {4x^3 * ln x - x^4*1/x}{(ln x)^2}
[/mm]
Wenn ich jetzt kürzen möchte, kann ich doch im Nenner "1 Mal" ln wegkürzen mit dem ln im Zähler. Kann ich dann schreiben [mm] \bruch {4x^3}{ln x} [/mm] - [mm] \bruch {x^3}{ln x}?
[/mm]
Und f(x)= x^ln x <=> e^ln²x richtig? Aber was nun? Kettenregel, klar, aber was ist äußere, was innere Funktion? Ich weiß die ABleitung der äußeren Funktion nicht ganz genau (müsste ja der Exponent sein). ln x abgeleitet ist ja 1/x, aber was mache ich mit dem Quadrat?
Eine Frage ist mir noch in den Sinn gekommen: Kann ich i.d.R. auch ^-1/x schreiben, statt das Quotientenkriterium zu nehmen und so auf die Kettenregel ausweichen?
Danke!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:15 Mo 29.12.2008 | | Autor: | MaRaQ |
> Hallo,
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> ich habe hier zwei Ableitungen, jedoch hänge ich an jeweils
> einer Stelle.
>
> f(x)= [mm]\bruch {x^4}{ln x}[/mm] Mit Quotientenregel komme ich auf:
> f'(x)= [mm]\bruch {4x^3 * ln x - x^4*1/x}{(ln x)^2}[/mm]
Die Ableitung ist richtig.
> Wenn ich jetzt kürzen möchte, kann ich doch im Nenner "1
> Mal" ln wegkürzen mit dem ln im Zähler. Kann ich dann
> schreiben [mm]\bruch {4x^3}{ln x}[/mm] - [mm]\bruch {x^3}{ln x}?[/mm]
Nein. Nicht wirklich. Aus Summen... solltest du besser nicht kürzen.
Und wenn doch, dann bitte alle Summanden berücksichtigen, sprich:
[mm] \bruch{4x^3 - \bruch{x^3}{ln x}}{ln x}
[/mm]
Aber ob das Sinn macht?!?
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Eine andere Möglichkeit wäre es ja sonst den ersten Bruch so zu lassen, aber zu schreiben - [mm] \bruch {x^3}{ln x^2}. [/mm] Wäre auch kürzer. Ich weiß nur nicht ob ich beim 2. Bruch das eine ln weglassen kann, oder als Quadrat lasse.
Hast du das 2. Beispiel verstanden?
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Hallo Englein,
> Eine andere Möglichkeit wäre es ja sonst den ersten Bruch
> so zu lassen, aber zu schreiben $- [mm] \bruch {x^3}{\red{(}ln x\red{)}^2}$ [/mm]
Aufpassen mit dem Aufschreiben, entweder [mm] $\ln^2(x)$ [/mm] oder [mm] $(\ln(x))^2$ [/mm] 
> Wäre auch kürzer. Ich weiß nur nicht ob ich beim 2. Bruch
> das eine ln weglassen kann, oder als Quadrat lasse.
Na als Quadrat natürlich, du kannst ja so auseinanderziehen
[mm] $\frac{4x^3\ln(x)-\overbrace{x^4\cdot{}\frac{1}{x}}^{=x^3}}{(\ln(x))^2}=\frac{4x^3\blue{\ln(x)}}{(\blue{\ln(x)})^2}-\frac{x^3}{\ln(x))^2}$
[/mm]
Und hier kannst du lediglich im ersten Bruch einen gemeinsamen Faktor in Zähler und Nenner kürzen, nämlich einmal das [mm] $\blue{\ln(x)}$
[/mm]
Im zweiten Bruch kannst du nix mehr vereinfachen, es bleibt also [mm] $(\ln(x))^2$ [/mm] im Nenner, also als Quadrat!
Zum zweiten Bsp.
Das hast du richtig umgeformt!
[mm] $x^{\ln(x)}=e^{(\ln(x))^2}$
[/mm]
Und auch richtig erkannt hast du, dass du die Kettenregel brauchst!
Und das sogar verschachtelt Einmal "nur" für die Ableitung des Exponenten und dann für die Gesamtableitung
Für den Exponenten:
Äußere Funktion [mm] $(blabla)^2$, [/mm] innere Funktion [mm] $\ln(x)$
[/mm]
innere Ableitung hast du richtig gesagt ist [mm] $\frac{1}{x}$, [/mm] wie ist's mit der äußeren?
Das ist doch [mm] $2\cdot{}(blabla)^{2-1}=2(blabla)$
[/mm]
Also [mm] $\left[(\ln(x))^2\right]'=\underbrace{2\cdot{}\ln(x)}_{\text{äußere Ableitung}}\cdot{}\underbrace{\frac{1}{x}}_{\text{innere Ableitung}}$
[/mm]
Das ist die Ableitung des Exponenten
Wie sieht's nun mit der "Gesamtableitung" aus?
LG
schachuzipus
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> Für den Exponenten:
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> Äußere Funktion [mm](blabla)^2[/mm], innere Funktion [mm]\ln(x)[/mm]
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> innere Ableitung hast du richtig gesagt ist [mm]\frac{1}{x}[/mm],
> wie ist's mit der äußeren?
>
> Das ist doch [mm]2\cdot{}(blabla)^{2-1}=2(blabla)[/mm]
>
> Also
> [mm]\left[(\ln(x))^2\right]'=\underbrace{2\cdot{}\ln(x)}_{\text{äußere Ableitung}}\cdot{}\underbrace{\frac{1}{x}}_{\text{innere Ableitung}}[/mm]
>
> Das ist die Ableitung des Exponenten
>
> Wie sieht's nun mit der "Gesamtableitung" aus?
>
> LG
>
> schachuzipus
Das müsste ja dann sein: [mm] e^{(\ln(x))^2} \underbrace{2\cdot{}\ln(x)}_{\text{äußere Ableitung}}\cdot{}\underbrace{\frac{1}{x}}_{\text{innere Ableitung}}, [/mm] oder?
Ich finde die Schreibweise [mm] e^{(\ln(x))^2} [/mm] auch einfacher, als die, die ich vorher raus hatte. Ich wusste nicht, was ich mit dem ² anstellen sollte zwischen dem x und dem ln.
Aber so ist es ja erstmal die äußere und innere Abeltiung des Exponenten und dann die Ableitung der eigentlich inneren Funktion, die ja dann [mm] e^{(\ln(x))^2} [/mm] bleibt, richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:48 Mo 29.12.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Englein!
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") So ist's richtig ...
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:48 Mo 29.12.2008 | | Autor: | Englein89 |
Danke euch Dreien :o)
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Ich habe gerade noch so einen Bandwurm gefunden:
f(x)= 1/2x + [mm] \wurzel {3-2x-x^2} [/mm] +1/2
Ich habe abgeleitet mit Summen- und Kettenregel:
f'(x)= 1/2 + [mm] 1/2(3-2x-x^2)^{-2/3} [/mm] * (-2-2x)
Aber wie fasse ich das nun kürzer, oder ist das sogar falsch?
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Hallo Englein,
> Ich habe gerade noch so einen Bandwurm gefunden:
>
> f(x)= 1/2x + [mm]\wurzel {3-2x-x^2}[/mm] +1/2
>
> Ich habe abgeleitet mit Summen- und Kettenregel:
>
> $f'(x)= 1/2 + [mm] 1/2(3-2x-x^2)^{\red{-2/3}} [/mm] * (-2-2x)$
Da beim roten Exponenten hast du dich verschrieben, ansonsten hast du gut auf innere und äußere Ableitung aufgepasst!
Nur der Exponent ist nicht ganz richtig, was muss da stehen?
>
> Aber wie fasse ich das nun kürzer, oder ist das sogar
> falsch?
Zusammenfassen geht nicht, zumindest wird's nicht wirklich kürzer oder schöner, es ist fast ganz richtig, nur der Exponent nicht
LG
schachuzipus
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Ja, richtig. Wie blöd. Der Exponent muss natürlich -1/2 lauten.
Wenn ich zusammenfasse habe ich dann: 1/2 - [mm] 1/\wurzel {3-2x-x^2} [/mm] aber was mache ich jetzt mit dem 1/2 vor der Klammer und was mit dem Teil in der Klammer, der dann noch folgt?
Und der letzte Bandwurm für heute, aber ich komme hier wirklich nicht voran:
Eine erste Ableitung lautet: [mm] e^{\bruch {-x}{x+2}} [/mm] * [mm] \bruch {2}{(x+2)^2}
[/mm]
Ich muss ja hier die Produktregel anwenden. [mm] e^{\bruch {-x}{x+2}} [/mm] bleibt ja egal ob abgeleitet oder nicht [mm] e^{\bruch {-x}{x+2}} [/mm] , also müsste ich etwas von der Form: [mm] e^{\bruch {-x}{x+2}} [/mm] * bla + [mm] e^{\bruch {-x}{x+2}} [/mm] * [mm] \bruch {2}{(x+2)^2} [/mm] bekommen. [mm] \bruch {2}{(x+2)^2} [/mm] abzuleiten müsste dann ja mit der Quotientenregel gehen, aber die Lösung sagt mir etwas viel komplizierteres voraus, sodass ich das Gefühl habe, irgendeinen Denkfehler gemacht zu haben.
Nur welchen?
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Hallo Englein!
Nur so im Vorbeigehn hier ganz kurz zum zweiten Teil Deiner Frage:
> Und der letzte Bandwurm für heute, aber ich komme hier
> wirklich nicht voran:
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> Eine erste Ableitung lautet: [mm]e^{\bruch {-x}{x+2}}[/mm] * [mm]\bruch {2}{(x+2)^2}[/mm]
>
> Ich muss ja hier die Produktregel anwenden. [mm]e^{\bruch {-x}{x+2}}[/mm]
> bleibt ja egal ob abgeleitet oder nicht [mm]e^{\bruch {-x}{x+2}}[/mm] ,
Nur, wenn Du die Kettenregel heute ignorieren möchtest.
> also müsste ich etwas von der Form:
> [mm]e^{\bruch {-x}{x+2}}[/mm]* bla + [mm]e^{\bruch {-x}{x+2}}[/mm] * dingens * [mm]\bruch {2}{(x+2)^2}[/mm]
> bekommen. [mm]\bruch {2}{(x+2)^2}[/mm] abzuleiten müsste dann ja mit
> der Quotientenregel gehen, aber die Lösung sagt mir etwas
> viel komplizierteres voraus, sodass ich das Gefühl habe,
> irgendeinen Denkfehler gemacht zu haben.
>
> Nur welchen?
Du hast dingens vergessen, die innere Ableitung des Exponenten Deiner e-Funktion. Geht natürlich dann auch nach der Quotientenregel.
lg,
reverend
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Hallo
[mm] f'(x)=\bruch{1}{2}+\bruch{1}{2}*(3-2x-x^{2})^{-\bruch{1}{2}}*(-2-2x)
[/mm]
den negativen Exponenten schreiben
[mm] f'(x)=\bruch{1}{2}+\bruch{1}{2}*\bruch{1}{(3-2x-x^{2})^{\bruch{1}{2}}}*(-2-2x)
[/mm]
den Exponenten [mm] \bruch{1}{2} [/mm] schreiben wir als Wurzel
[mm] f'(x)=\bruch{1}{2}+\bruch{-2-2x}{2*\wurzel{3-2x-x^{2}}}
[/mm]
jetzt noch 2 kürzen
[mm] f'(x)=\bruch{1}{2}+\bruch{-1-x}{\wurzel{3-2x-x^{2}}}
[/mm]
[mm] f'(x)=\bruch{1}{2}-\bruch{x+1}{\wurzel{3-2x-x^{2}}}
[/mm]
Steffi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:20 Mo 29.12.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Englein!
> Und f(x)= x^ln x <=> e^ln²x richtig?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Aber was nun? Kettenregel, klar, aber was ist äußere, was innere
> Funktion?
Es handelt sich hier um eine mehrfach verkettete Funktion.
äußere Funktion: [mm] $e^{(...)}$
[/mm]
innere Funktion [mm] $(...)^2$
[/mm]
innerste Funktion [mm] $\ln [/mm] x$
Gruß
Loddar
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