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Forum "Folgen und Reihen" - Rechenregeln lim sup bzw inf
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Rechenregeln lim sup bzw inf: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:59 Fr 25.11.2011
Autor: Mathe-Lily

Aufgabe
Zeigen Sie, dass für beschränkte Folgen [mm] (a_{n})_{n \in \IN} [/mm] und [mm] (b_{n})_{n \in \IN} [/mm] gilt:
a) lim [mm] sup_{n \to \infty} (a_{n})= [/mm] -lim [mm] inf_{n \to \infty} (-a_{n}) [/mm]
b) lim [mm] sup_{n \to \infty} (a_{n} [/mm] + [mm] b_{n}) [/mm] = lim [mm] sup_{n \to \infty} (a_{n}) [/mm] + lim [mm] sup_{n \to \infty} (b_{n}) [/mm]

Hallo!
Zu b) habe ich eine Idee, in der ich aber nicht weiter komme:
Es gilt:
lim [mm] sup_{n \to \infinity} (a_{n}) [/mm] = a [mm] \gdw [/mm] für alle [mm] \varepsilon [/mm] > 0:
1) für alle n [mm] \in \IN [/mm] gilt: [mm] a_{n} [/mm] > a- [mm] \varepsilon/2 [/mm]
2) für fast alle n [mm] \in \IN [/mm] gilt: [mm] a_{n} wenn ich das für [mm] a_{n}, b_{n} [/mm] und [mm] a_{n} [/mm] + [mm] b_{n} [/mm] definiere (bei [mm] a_{n} [/mm] + [mm] b_{n} [/mm] statt [mm] \varepsilon/2 [/mm] nur [mm] \varepsilon), [/mm] dann könnte ich doch irgendwie durch umformungen an mein ziel kommen, oder?
aber ich hänge 1. daran, ob ich jetzt unendlich viele n habe, für die das gilt oder nur endlich viele, also ob ich 1) oder 2) benutzen muss, und warum. und 2. daran, dass es an der umsetzung hapert.
vllt könnte mir jemand einen tipp geben?

und zu a)
mache ich das auch so, nur dass ich da noch benutze:
lim [mm] inf_{n \to \infinity} (a_{n}) [/mm] = a [mm] \gdw [/mm] für alle [mm] \varepsilon [/mm] > 0:
1) für alle n [mm] \in \IN [/mm] gilt: [mm] a_{n} [/mm] < a + [mm] \varepsilon/2 [/mm]
2) für fast alle n [mm] \in \IN [/mm] gilt: [mm] a_{n} [/mm] > a - [mm] \varepsilon/2 [/mm] (dh. für alle außer für endlich viele)
?

Und wozu brauche ich die Voraussetzung, dass die beiden Folgen beschränkt sind?

Ich wäre über jede Hilfe sehr dankbar!
Grüßle, Lily

        
Bezug
Rechenregeln lim sup bzw inf: Tipp
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:02 Fr 25.11.2011
Autor: DerSpunk

Hallo Mathe-Lily,

mach dir erst mal klar was [mm]\lim\sup\{a_n\}_n[/mm] bzw. [mm]\lim\inf\{a_n\}_n[/mm] bedeutet. Z.B. für Teil a: Sei [mm]M[/mm] die Menge aller Häufungspunkte der Folge [mm]\{a_n\}_n[/mm] und [mm]-M:=\{-m\ | \ m\in M\}[/mm] . Man muss also zeigen, dass für eine beschränkte Menge [mm]M[/mm] gilt:

                              [mm]\sup (M)=-\inf (-M)[/mm].

Mit der Charakterisierung des Supremums bzw. des Infimums (die du glaube ich kennst, nachdem ich deinen Ansatz gelesen habe) müsste der Beweis kein Problem mehr sein.

Beste Grüße
Der Spunk

Bezug
        
Bezug
Rechenregeln lim sup bzw inf: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:34 Sa 26.11.2011
Autor: fred97


> Zeigen Sie, dass für beschränkte Folgen [mm](a_{n})_{n \in \IN}[/mm]
> und [mm](b_{n})_{n \in \IN}[/mm] gilt:
>  a) lim [mm]sup_{n \to \infty} (a_{n})=[/mm] -lim [mm]inf_{n \to \infty} (-a_{n})[/mm]
>  
> b) lim [mm]sup_{n \to \infty} (a_{n}[/mm] + [mm]b_{n})[/mm] = lim [mm]sup_{n \to \infty} (a_{n})[/mm]
> + lim [mm]sup_{n \to \infty} (b_{n})[/mm]

Diese Aussage ist falsch !!!   [mm] a_n=(-1)^n, b_n=-a_n [/mm]

FRED

>  Hallo!
>  Zu b) habe ich eine Idee, in der ich aber nicht weiter
> komme:
>  Es gilt:
>  lim [mm]sup_{n \to \infinity} (a_{n})[/mm] = a [mm]\gdw[/mm] für alle
> [mm]\varepsilon[/mm] > 0:
> 1) für alle n [mm]\in \IN[/mm] gilt: [mm]a_{n}[/mm] > a- [mm]\varepsilon/2[/mm]
>  2) für fast alle n [mm]\in \IN[/mm] gilt: [mm]a_{n}
> (dh. für alle außer für endlich viele)
>  wenn ich das für [mm]a_{n}, b_{n}[/mm] und [mm]a_{n}[/mm] + [mm]b_{n}[/mm] definiere
> (bei [mm]a_{n}[/mm] + [mm]b_{n}[/mm] statt [mm]\varepsilon/2[/mm] nur [mm]\varepsilon),[/mm]
> dann könnte ich doch irgendwie durch umformungen an mein
> ziel kommen, oder?
>  aber ich hänge 1. daran, ob ich jetzt unendlich viele n
> habe, für die das gilt oder nur endlich viele, also ob ich
> 1) oder 2) benutzen muss, und warum. und 2. daran, dass es
> an der umsetzung hapert.
>  vllt könnte mir jemand einen tipp geben?
>  
> und zu a)
>  mache ich das auch so, nur dass ich da noch benutze:
>  lim [mm]inf_{n \to \infinity} (a_{n})[/mm] = a [mm]\gdw[/mm] für alle
> [mm]\varepsilon[/mm] > 0:
>  1) für alle n [mm]\in \IN[/mm] gilt: [mm]a_{n}[/mm] < a + [mm]\varepsilon/2[/mm]
>  2) für fast alle n [mm]\in \IN[/mm] gilt: [mm]a_{n}[/mm] > a -

> [mm]\varepsilon/2[/mm] (dh. für alle außer für endlich viele)
>  ?
>  
> Und wozu brauche ich die Voraussetzung, dass die beiden
> Folgen beschränkt sind?
>  
> Ich wäre über jede Hilfe sehr dankbar!
>  Grüßle, Lily


Bezug
                
Bezug
Rechenregeln lim sup bzw inf: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:44 So 27.11.2011
Autor: Mathe-Lily

oh nein! wie blöd! ich hab die aufgabe falsch gelesen!
bei b) heißt das [mm] \le [/mm] ! -.-
Tut mir leid!

Bezug
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