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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:29 Di 04.12.2007 | | Autor: | fvs |
| Aufgabe | Sei K ein angeordneter Körper und seien x, y, z [mm] \in [/mm] K. Zeigen Sie:
(a) (x < y) und (z > 0) => xz < yz,
(b) (x < y) und (z < 0) => xz > yz,
(c) x > 0 => [mm] x^{-1} [/mm] > 0,
(d) 0 < x < y => 0 < y^(-1) < x^(-1). |
Hallo.
Also (a) und (b) müsste ich eigentlich so weit hinbekommen haben (mit den anderen Aufgabteilen komme ich leider gar nicht klar). Ich skizziere einmal kurz die Lösungen zu (a) und (b).
(a)
Es gelte x < y und z > 0. Dann ist 0 < y - x und daher 0 < z(y - x) und somit 0 < zy - zx. Also xz < yz.
(b)
Es gelte x < y und z < 0. Aus z < 0 folgt 0 < -z, woraus dann -xz < -yz nach (a) folgt. Das ist gleichbedeutend mit yz < xz.
(c)
Hier habe ich leider gar keine Idee. Da ich nich so richtig weiß, wie ich ansetzen kann um auf das inverse Element der Multiplikation zu kommen.
(d)
Das gleiche Problem habe ich leider auch hier.
Ich habe diese Frage noch in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:55 Di 04.12.2007 | | Autor: | mg07 |
(c) x > 0 => $ [mm] x^{-1} [/mm] $ > 0
[mm] x^{-1} [/mm] > 0 | *x <=> 1 > 0
(d) 0 < x < y => 0 < y^(-1) < x^(-1).
0 < y^(-1) < x^(-1) | *xy <=> 0 < x < y
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:09 Di 04.12.2007 | | Autor: | fvs |
Hallo.
Danke für die schnelle Antwort. Das macht ja vom Prinzip aus großen Sinn, aber ich denke, dass es keine mathematischer Beweis ist, da du ja quasi vom Ziel ausgehst und die Voraussetzung überhaupt nicht betrachtest.
Okay. Ich habe das jetzt angepasst. Man könnte nämlich höchstens sagen:
(c)
x > 0 => [mm] xx^{-1} [/mm] > 0 => 1 > 0 => [mm] x^{-1} [/mm] > 0
(d)
0 < x < y => 0 < [mm] xx^{-1}y^{-1} [/mm] < [mm] yy^{-1}x^{-1} [/mm] => 0 < [mm] 1y^{-1} [/mm] < [mm] 1x^{-1} [/mm] => 0 < [mm] y^{-1} [/mm] < [mm] x^{-1}
[/mm]
Oder? Das müsste doch jetzt so alles stimmen...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:15 Di 04.12.2007 | | Autor: | mg07 |
Ja sorry, bin da etwas zu gedankenfaul rangegangen.
Deine Umformung ist mathematisch korrekter.
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