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Forum "Diskrete Mathematik" - Rechenregeln für Gruppen
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Rechenregeln für Gruppen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:26 Sa 19.01.2008
Autor: jboss

Aufgabe
Es sei $(G, [mm] \circ)$ [/mm] eine Gruppe und $a, b [mm] \in [/mm] G$ seien beliebig. Beweisen Sie die folgende Rechenregel:

$(a [mm] \circ b)^{-1} [/mm] = [mm] b^{-1} \circ a^{-1}$ [/mm]

Hallo zusammen,

ich verzweifle gerade an obiger Aufgabe. Habe keinen Ansatz für den Beweis. Ich kenne die Eigenschaften, die eine Menge mitsamt einer Verknüpfung erfüllen muss um eine Gruppe darzustellen. Jedoch komme ich nicht darauf, wie sich diese Rechenregel ohne Kommutativität beweisen lässt. Kommutativität ist ja nicht gegeben, da die Gruppe nicht abelsch ist.

Würde mich über einen Gedankenanstoß sehr freuen.

lg jboss

        
Bezug
Rechenregeln für Gruppen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:42 Sa 19.01.2008
Autor: Somebody


> Es sei [mm](G, \circ)[/mm] eine Gruppe und [mm]a, b \in G[/mm] seien
> beliebig. Beweisen Sie die folgende Rechenregel:
>  
> [mm](a \circ b)^{-1} = b^{-1} \circ a^{-1}[/mm]
>  Hallo zusammen,
>  
> ich verzweifle gerade an obiger Aufgabe. Habe keinen Ansatz
> für den Beweis. Ich kenne die Eigenschaften, die eine Menge
> mitsamt einer Verknüpfung erfüllen muss um eine Gruppe
> darzustellen. Jedoch komme ich nicht darauf, wie sich diese
> Rechenregel ohne Kommutativität beweisen lässt.
> Kommutativität ist ja nicht gegeben, da die Gruppe nicht
> abelsch ist.
>  
> Würde mich über einen Gedankenanstoß sehr freuen.

Um zu zeigen, dass $(a [mm] \circ b)^{-1} [/mm] = [mm] b^{-1} \circ a^{-1}$ [/mm] gilt, musst Du einfach zeigen, dass [mm] $b^{-1} \circ a^{-1}$ [/mm] die (eindeutig bestimmte) Inverse von [mm] $a\circ [/mm] b$ ist. Das heisst, Du musst nur zeigen, dass gilt:

[mm](a\circ b)\circ (b^{-1}\circ a^{-1})=e[/mm]

wobei $e$ das neutrale Element der Gruppe sei. - Und wie beweist man dies? - Indem man die Assoziativität von $e$ und die Eigenschaften [mm] $b\circ b^{-1}=e$, $a\circ [/mm] e=a$ sowie [mm] $a\circ a^{-1}=e$ [/mm] verwendet.

Bezug
                
Bezug
Rechenregeln für Gruppen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:58 Sa 19.01.2008
Autor: jboss

Jetzt hat s "Klick" gemacht! Vielen Dank für die ungeheuer schnelle Antwort :-)

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