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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:54 Fr 14.12.2007 | | Autor: | hemina |
| Aufgabe | Man beweise für [mm] z \in \IC[/mm]
[mm]\left| Re (z) \right| \le \left| z \right| [/mm] |
Mein bisheriger Ansatz:
sei: z = a + bi
Re(z) bedeutet m. E. den Realteil von z somit:
[mm] \left| Re (z) \right| [/mm] = [mm] \left| a \right|
[/mm]
außerdem: [mm] \left| z \right| [/mm] = [mm] \wurzel{a^{2} + b^{2}}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \left| a \right| \le \wurzel{a^{2} + b^{2}}
[/mm]
mit
[mm] b = 0 \Rightarrow b^{2}=0
\Rightarrow \wurzel{a^{2} + 0} = \wurzel{a^{2}}
\left| a \right| \le \wurzel{a^{2}} \Rightarrow \left| a \right| = \wurzel{a^{2}} [/mm]
Soweit so gut, aber das Problem, das ich habe ist, dass [mm] \wurzel{a^{2}} [/mm] neben +a, eigentlich auch -a liefert. Und damit wäre im letzten Fall meine Gleichung nicht mehr korrekt.
Kann es sein, dass nur die positiven Ergebnisse der Wurzel zu berücksichtigen sind, da es sich grafisch gesehen beim [mm] \left| z \right| [/mm] um die Länge des Vektors in der Gauß-Ebene handelt und somit negative Längen keinen Sinn ergeben?
Müsste ich also meine obige Bedingung besser so formulieren, damit es deutlicher wird:
[mm] \left| z \right| [/mm] = [mm] \left| \wurzel{a^{2} + b^{2}} \right|
[/mm]
Dann würde nämlich für b [mm] \not= [/mm] 0 [mm] \Rightarrow b^{2} [/mm] > 0
[mm] \Rightarrow \wurzel{a^{2}} [/mm] < [mm] \wurzel{a^{2} + b^{2}}
[/mm]
mit
[mm]\left| a \right| = \wurzel{a^{2}}
\Rightarrow \left| a \right| \le \wurzel{a^{2} + b{2}} [/mm]
gelten. Und das wär's doch, oder 
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:05 Fr 14.12.2007 | | Autor: | max3000 |
Hi. Ich verstehe deine Argumentation nicht so ganz.
Machs doch einfach so:
[mm] |Re(z)|=|a|=\wurzel{a^2}
[/mm]
[mm] |z|=\wurzel{a^2+b^2}
[/mm]
Gleichsetzen und gleich quadriieren:
[mm] a^2\le a^2+b^2
[/mm]
[mm] 0\le b^2
[/mm]
Das ist jetzt glaub ich irgendein Ordnungsaxiom oder sowas in der Art.
[mm] b^2 [/mm] ist immer größer gleich 0. Und schon bist du fertig.
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