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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:03 Mi 23.06.2010 | | Autor: | stk66 |
| Aufgabe | Sei K ein Körper, und seien [mm] A,B\in M_{n}(K). [/mm] Zeige:
[mm] (A^T)^{-1}=(A^{-1})^T [/mm] |
Ich habe dazu folgende Lösung in einem Lehrbuch gefunden:
Wegen [mm] A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A=E_{n} [/mm] folgt mit [mm] (AB)^T=B^TA^T, [/mm] dass
[mm] (A^{-1})^T\cdot A^T=A^T\cdot (A^{-1})^T=E_{n}^T=E_{n}. \Box
[/mm]
Diesen Beweis verstehe ich nicht. Könntet Ihr mir den etwas erläutern?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:21 Mi 23.06.2010 | | Autor: | fred97 |
> Sei K ein Körper, und seien [mm]A,B\in M_{n}(K).[/mm] Zeige:
>
> [mm](A^T)^{-1}=(A^{-1})^T[/mm]
> Ich habe dazu folgende Lösung in einem Lehrbuch
> gefunden:
>
> Wegen [mm]A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A=E_{n}[/mm] folgt mit
> [mm](AB)^T=B^TA^T,[/mm] dass
> [mm](A^{-1})^T\cdot A^T=A^T\cdot (A^{-1})^T=E_{n}^T=E_{n}. \Box[/mm]
>
> Diesen Beweis verstehe ich nicht. Könntet Ihr mir den
> etwas erläutern?
Vielleicht gefällt es Dir so besser:
[mm] $E_n=E_n^T= (A*A^{-1})^T= (A^{-1})^T*A^T$,
[/mm]
also
[mm] $E_n= (A^{-1})^T*A^T$
[/mm]
daraus folgt: [mm] $(A^T)^{-1}= (A^{-1})^T$
[/mm]
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:32 Mi 23.06.2010 | | Autor: | stk66 |
Danke, jetzt ists mir klar.
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