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Hallo
Ich bin neu hier und habe eine vielleicht etwas dumme Frage, aber ich bin mir gerade echt unsicher:)
Gilt folgende Gleichung?
P [mm] \subseteq [/mm] (M ∩ N)=(P ∩ M) [mm] \subseteq [/mm] (P ∩ N)
Danke schonmal im Vorraus für eure Bemühungen.
MfG
Niels
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Niels1990 und herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Hallo
> Ich bin neu hier und habe eine vielleicht etwas dumme
> Frage, aber ich bin mir gerade echt unsicher:)
> Gilt folgende Gleichung?
> P [mm]\subseteq[/mm] (M ∩ N)=(P ∩ M) [mm]\subseteq[/mm] (P ∩ N)
Ich weiß nicht so recht, was du mit "Gleichung" meinst.
Meinst du, dass aus [mm]P\subset (M\cap N)[/mm] folgt, dass [mm](P\cap M)\subset (P\cap N)[/mm] ?
Das gilt auf jeden Fall, sogar Gleichheit gilt, denn [mm]P\cap M=P[/mm] und [mm]P\cap N=P[/mm], da [mm]P[/mm] jeweils Teilmenge von [mm]N, M[/mm] ist.
> Danke schonmal im Vorraus für eure Bemühungen.
> MfG
> Niels
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:57 Fr 08.10.2010 | | Autor: | Niels1990 |
Ja genau das habe ich gemeint, also dass das eine aus dem anderen folgt. Vielen Dank. Das erleichtert mir meine Übungsaufgaben, die ich fürs Studium machen muss ungemein:)
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Ehm ein was hab ich noch kann man auch schreiben aus P [mm] \subseteq [/mm] M [mm] \cap [/mm] N folgt (P [mm] \subseteq [/mm] M) [mm] \cap [/mm] (P [mm] \subseteq [/mm] N) ?
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Hallo,
ja, diese beiden Aussagen sind äquivalent.
Insofern kannst du nicht nur ein [mm] \Rightarrow [/mm] schreiben, sondern sogar ein [mm] \gdw [/mm] .
Grüße
reverend
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Hallo,
> Ehm ein was hab ich noch kann man auch schreiben aus P
> [mm]\subseteq[/mm] M [mm]\cap[/mm] N folgt (P [mm]\subseteq[/mm] M) [mm]\cap[/mm] (P [mm]\subseteq[/mm] N) ?
Naja, eine Aussage ist das nicht, du musst sauberer unterscheiden, ob du dich auf Mengenebene oder auf Aussagenebene befindest.
Richtig ist:
[mm]P\subset (M\cap N)\Rightarrow (P\subset M) \ \red{\wedge} \ (P\subset N)[/mm]
"Wenn P Teilmenge des Schnittes von M und N ist, dann ist P Teilmenge von M UND P ist Teilmenge von N"
Gruß
schachuzipus
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Das Symbol [mm] \wedge [/mm] verwirrt mich jetzt etwas. Also ich schreibs mal anders:
Gilt P [mm] \subseteq [/mm] M [mm] \cap [/mm] N [mm] \gdw [/mm] (P [mm] \subseteq [/mm] M) [mm] \cap [/mm] (P [mm] \subseteq [/mm] N) ?
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Hallo nochmal,
> Das Symbol [mm]\wedge[/mm] verwirrt mich jetzt etwas.
Das ist ein "logisches UND" zur Verknüpfung von Aussagen
> Also ich
> schreibs mal anders:
> Gilt P [mm]\subseteq[/mm] M [mm]\cap[/mm] N [mm]\gdw[/mm] (P [mm]\subseteq[/mm] M) [mm]\cap[/mm] (P [mm]\subseteq[/mm] N) ?
Linkerhand steht eine Aussage [mm] $P\subset (M\cap [/mm] N)$
Rechterhand aber nicht, da steht nur ein Schnitt von Mengen bzw. eher ein Schnitt von Aussagen.
Das ist keine sinnvolle Schreibweise ...
Gruß
schachuzipus
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| Aufgabe | | Falls P [mm] \subseteq [/mm] M und P [mm] \subseteq [/mm] N erfüllt sind, gilt P [mm] \subseteq [/mm] M [mm] \cap [/mm] N. |
Ok also ist die Schreibweise jetzt falsch oder nur nicht sinnvoll? Am besten ich poste mal die ganze Aufgabenstellung.
Mein Ansatz war eben über das zuvor Gefragte diesen Beweis zu führen. Vielleicht könnt ihr mir ja einen anderen Ansatz empfehlen. Ich hatte auch noch die Idee davon auszugehen dass die Aussage falsch ist und dann eben zu beweisen dass dies nicht zutrifft, sozusagen indirekt beweisen.
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Hallo nochmal,
> Falls P [mm]\subseteq[/mm] M und P [mm]\subseteq[/mm] N erfüllt sind, gilt P [mm]\subseteq[/mm] M [mm]\cap[/mm] N.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Das ist die andere Richtung, die auch gilt, das hat rev ja schon geschrieben.
Siehst du den Unterschied zu deiner vorherigen Schreibweise?
Hier hast du ausgeschrieben "und" verwendet, was richtig ist, oben hast du das Zeichen [mm]\cap[/mm] verwendet.
> Ok also ist die Schreibweise jetzt falsch oder nur nicht
> sinnvoll?
Sie (also die Schreibweise in den posts vorher) ist falsch, weil unsinnig, da steht quasi nix
> Am besten ich poste mal die ganze
> Aufgabenstellung.
> Mein Ansatz war eben über das zuvor Gefragte diesen
> Beweis zu führen. Vielleicht könnt ihr mir ja einen
> anderen Ansatz empfehlen. Ich hatte auch noch die Idee
> davon auszugehen dass die Aussage falsch ist und dann eben
> zu beweisen dass dies nicht zutrifft, sozusagen indirekt
> beweisen.
Die Aussage gilt.
Gerade zu Beginn sollte man eine Äquivalenz immer in beiden Richtungen zeigen.
1) Zeige [mm]P\subset (M\cap N)\Rightarrow \left[(P\subset M)\wedge (P\subset N)\right][/mm]
2) Zeige [mm]\left[(P\subset N)\wedge (P\subset N)\right]\Rightarrow P\subset (M\cap N)[/mm]
Und dies sollte man gerade zu Beginn schön über die Definitionen zeigen.
1) Gelte [mm]P\subset (M\cap N)[/mm]
[mm]\Rightarrow \forall x\in P:x\in(M\cap N)[/mm]
[mm]\Rightarrow \forall x\in P:(x\in M\wedge x\in N)[/mm]
[mm]\Rightarrow \forall x\in P: x\in M \wedge \forall x\in P: x\in N[/mm]
[mm]\Rightarrow (P\subset M)\wedge (P\subset N)[/mm]
Die andere Richtung geht wörtlich rückwärts ...
Überlege, welche Definitionen ich wo benutzt habe und begründe für dich mal jeden Folgerungspfeil [mm]\Rightarrow[/mm] in dem Beweis ...
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:13 Fr 08.10.2010 | | Autor: | Niels1990 |
Alles klar, danke für die schnelle Hilfe.
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