Realteil einer holomorphen Fkt < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:55 Di 12.05.2015 | | Autor: | Calculu |
| Aufgabe | Ist die Funktion u: [mm] \IC \to \IR [/mm] Realteil einer holomorphen Funktion auf [mm] \IC?
[/mm]
Bestimmen Sie ggf. die Funktion v: [mm] \IC \to \IR, [/mm] für die u+iv holomorph auf [mm] \IC [/mm] ist.
u(x,y) = [mm] x^{3}-3xy^{2} [/mm] |
Hallo.
Ich habe folgende Überlegungen angestellt:
Annahme: Es exist. v: [mm] \IC \to \IR [/mm] so, dass u+iv holomorph ist. Dann sind die CR-DGL'n erfüllt und es gilt:
[mm] 3x^{2}-3y^{2}= v_{y} [/mm] und 6xy = [mm] v_{x} [/mm] für alle (x,y) [mm] \in \IR^{2}.
[/mm]
Mit dem HDI folgt:
v(x,y)-v(x,0) = [mm] \integral_{0}^{y}{v_{y}(x,u) du}=3x^{2}y-y^{3}
[/mm]
bzw:
v(x,y)-v(0,y) = [mm] \integral_{0}^{x}{v_{x}(u,y) du}=3x^{2}*y
[/mm]
Für alle (x,y) [mm] \in \IR^{2}
[/mm]
Nun muss ich aber irgendwie v(x,y) bestimmen. Aber leider weiß ich nicht genau wie ich das machen soll.
Über einen Tipp wäre ich sehr dankbar.
Viele Grüße.
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Hiho,
oder ohne den Hauptsatz:
> [mm]3x^{2}-3y^{2}= v_{y}[/mm] und 6xy = [mm]v_{x}[/mm] für alle (x,y) [mm]\in \IR^{2}.[/mm]
$v(x,y) = 3x^2y - [mm] y^3 [/mm] + [mm] c_1(x)$ [/mm] und
$v(x,y) = 3x^2y + [mm] c_2(y)$
[/mm]
D.h. es stellt sich die Frage, ob es Funktionen [mm] $c_1,c_2: \IR \to \IR$ [/mm] so dass:
[mm] $3xy^2 [/mm] - [mm] y^3 [/mm] + [mm] c_1(x) [/mm] = 3x^2y + [mm] c_2(y)$ [/mm] gilt.
bzw: [mm] $c_1(x) [/mm] - [mm] c_2(y) [/mm] = [mm] y^3$
[/mm]
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:19 Di 12.05.2015 | | Autor: | Calculu |
> Hiho,
>
> oder ohne den Hauptsatz:
>
> > [mm]3x^{2}-3y^{2}= v_{y}[/mm] und 6xy = [mm]v_{x}[/mm] für alle (x,y) [mm]\in \IR^{2}.[/mm]
>
> [mm]v(x,y) = 3x^2y - y^3 + c_1(x)[/mm] und
> [mm]v(x,y) = 3x^2y + c_2(y)[/mm]
>
> D.h. es stellt sich die Frage, ob es Funktionen [mm]c_1,c_2: \IR \to \IR[/mm]
> so dass:
>
> [mm]3xy^2 - y^3 + c_1(x) = 3x^2y + c_2(y)[/mm] gilt.
>
> bzw: [mm]c_1(x) - c_2(y) = y^3[/mm]
>
> Gruß,
> Gono
Danke für deine Antwort.
Also zu [mm] c_1(x) [/mm] - [mm] c_2(y) [/mm] = [mm] y^3 [/mm] fällt mir nur ein, dass für y=0 gilt:
[mm] c_1(x) [/mm] = [mm] c_2(0)
[/mm]
Aber so richtig weiß ich dann auch nicht weiter. :-(
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Hiho,
Hiho,
> Danke für deine Antwort.
> Also zu [mm]c_1(x)[/mm] - [mm]c_2(y)[/mm] = [mm]y^3[/mm] fällt mir nur ein, dass für y=0 gilt:
> [mm]c_1(x)[/mm] = [mm]c_2(0)[/mm]
>
> Aber so richtig weiß ich dann auch nicht weiter. :-(
Formen wir nochmal um:
[mm] $c_1(x) [/mm] = [mm] y^3 [/mm] + [mm] c_2(y)$
[/mm]
Nun steht links etwas, was nur von x abhängt, rechts etwas, was nur von y abhängt.
Wenn die Gleichheit trotzdem für alle x,y gelten soll, was kann dann die linke und rechte Seite nur sein?
Gruß,
Gono
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:34 Di 12.05.2015 | | Autor: | Calculu |
> Hiho,
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> Hiho,
>
> > Danke für deine Antwort.
> > Also zu [mm]c_1(x)[/mm] - [mm]c_2(y)[/mm] = [mm]y^3[/mm] fällt mir nur ein, dass
> für y=0 gilt:
> > [mm]c_1(x)[/mm] = [mm]c_2(0)[/mm]
> >
> > Aber so richtig weiß ich dann auch nicht weiter. :-(
>
> Formen wir nochmal um:
>
> [mm]c_1(x) = y^3 + c_2(y)[/mm]
>
> Nun steht links etwas, was nur von x abhängt, rechts
> etwas, was nur von y abhängt.
>
> Wenn die Gleichheit trotzdem für alle x,y gelten soll, was
> kann dann die linke und rechte Seite nur sein?
>
Irgendeine Konstante?!
> Gruß,
> Gono
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Hiho,
> Irgendeine Konstante?!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Sei diese Konstante [mm] $c\in\IR$, [/mm] dann gilt also:
[mm] $c_1(x) \equiv [/mm] c, [mm] c_2(y) [/mm] = [mm] -y^3 [/mm] + c$
Was ergibt sich damit für v?
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:41 Di 12.05.2015 | | Autor: | Calculu |
> Hiho,
>
> > Irgendeine Konstante?!
>
>
> Sei diese Konstante [mm]c\in\IR[/mm], dann gilt also:
>
> [mm]c_1(x) \equiv c, c_2(y) = -y^3 + c[/mm]
>
> Was ergibt sich damit für v?
Achso, v(x,y) = [mm] 3x^{2}y-y^{3}+c
[/mm]
Richtig?
>
> Gruß,
> Gono
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Hiho,
> Achso, v(x,y) = [mm]3x^{2}y-y^{3}+c[/mm]
> Richtig?
Für welches [mm] $c\in\IR$?
[/mm]
Und: Obs richtig ist, kannst du doch selbst kontrollieren!
Gruß,
Gono
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:42 Mi 13.05.2015 | | Autor: | Calculu |
> Hiho,
>
> > Achso, v(x,y) = [mm]3x^{2}y-y^{3}+c[/mm]
> > Richtig?
>
> Für welches [mm]c\in\IR[/mm]?
Für alle c [mm] \in \IR
[/mm]
> Und: Obs richtig ist, kannst du doch selbst
> kontrollieren!
Ja, stimmt. Ist richtig 
> Gruß,
> Gono
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:45 Mi 13.05.2015 | | Autor: | fred97 |
Noch eine Möglichkeit: ist f holomorph und u=Re(f), so ist
[mm] f'=u_x+iv_x=u_x-iu_y=3x^2-3y^2+i6xy=3(x^2-y^2+2ixy)=3z^2,
[/mm]
also: [mm] f(z)=z^3 [/mm] (+c)
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:44 Mi 13.05.2015 | | Autor: | Calculu |
> Noch eine Möglichkeit: ist f holomorph und u=Re(f), so
> ist
>
> [mm]f'=u_x+iv_x=u_x-iu_y=3x^2-3y^2+i6xy=3(x^2-y^2+2ixy)=3z^2,[/mm]
>
> also: [mm]f(z)=z^3[/mm] (+c)
>
> FRED
Genial. Danke! 
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