www.vorkurse.de
Ein Projekt von vorhilfe.de
Die Online-Kurse der Vorhilfe

E-Learning leicht gemacht.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Mitglieder · Teams · Forum · Wissen · Kurse · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe-Vorkurse
  Status Organisatorisches
  Status Schule
    Status Wiederholung Algebra
    Status Einführung Analysis
    Status Einführung Analytisc
    Status VK 21: Mathematik 6.
    Status VK 37: Kurvendiskussionen
    Status VK Abivorbereitungen
  Status Universität
    Status Lerngruppe LinAlg
    Status VK 13 Analysis I FH
    Status Algebra 2006
    Status VK 22: Algebra 2007
    Status GruMiHH 06
    Status VK 58: Algebra 1
    Status VK 59: Lineare Algebra
    Status VK 60: Analysis
    Status Wahrscheinlichkeitst

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Uni-Analysis-Komplexe Zahlen" - Re u. Im einer kompl. Funktion
Re u. Im einer kompl. Funktion < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Analysis-Komplexe Zahlen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Re u. Im einer kompl. Funktion: Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:50 So 13.04.2014
Autor: bigalow

Aufgabe 1
Gegeben ist die Funktion [mm] $F(\omega) [/mm] = [mm] \bruch{(i \omega c)^\alpha}{1+(i \omega c)^{\alpha-\beta}}$ [/mm]
mit [mm] $\omega, \alpha, \beta, [/mm] c [mm] \in \IR^+$, $\alpha [/mm] > [mm] \beta$ [/mm] und [mm] $\alpha [/mm] <1 $

Zeige, dass [mm] $Im(F(\omega)) [/mm] = [mm] \bruch{(\omega c)^\alpha sin(\pi \alpha /2)+ (\omega c)^{2 \alpha - \beta}sin(\pi \beta /2) }{1+(\omega c)^{2 (\alpha - \beta)}+2(\omega c)^{\alpha - \beta}cos(\pi/2(\alpha-\beta))}$ [/mm]

Aufgabe 2
Berechne [mm] $Re(F(\omega))$ [/mm]

Konjugiert komplexes Erweitern mit dem Nenner als Umformung wie im einfachen Fall [mm] $F(\omega) [/mm] = [mm] \bruch{1}{1+i\omega}$ [/mm] bringt mich hier nicht weiter.
Wolfram alpha gibt mir für [mm] $F(\omega) [/mm] =(i [mm] \omega)^\alpha$ [/mm] das Ergebnis  [mm] $Im(F(\omega)) [/mm] = [mm] (\omega)^\alpha sin(\alpha [/mm] *arg(i [mm] \omega))$. [/mm] Das ist schonmal ein Ansatz. Aber wie kommt man darauf,warum ist  $arg(i [mm] \omega) [/mm] = [mm] \pi [/mm] /2$ und wie muss [mm] F(\omega) [/mm] umgeformt werden?

Besten Dank im Voraus für eure Antworten!

        
Bezug
Re u. Im einer kompl. Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:56 So 13.04.2014
Autor: rainerS

Hallo!

> Gegeben ist die Funktion [mm]F(\omega) = \bruch{(i \omega c)^\alpha}{1+(i \omega c)^{\alpha-\beta}}[/mm]
>  
> mit [mm]\omega, \alpha, \beta, c \in \IR^+[/mm], [mm]\alpha > \beta[/mm] und
> [mm]\alpha <1[/mm]
>  
> Zeige, dass [mm]Im(F(\omega)) = \bruch{(\omega c)^\alpha sin(\pi \alpha /2)+ (\omega c)^{2 \alpha - \beta}sin(\pi \beta /2) }{1+(\omega c)^{2 (\alpha - \beta)}+2(\omega c)^{\alpha - \beta}cos(\pi/2(\alpha-\beta))}[/mm]
>  
> Berechne [mm]Re(F(\omega))[/mm]
>  Konjugiert komplexes Erweitern mit dem Nenner als
> Umformung wie im einfachen Fall [mm]F(\omega) = \bruch{1}{1+i\omega}[/mm]
> bringt mich hier nicht weiter.
> Wolfram alpha gibt mir für [mm]F(\omega) =(i \omega)^\alpha[/mm]
> das Ergebnis  [mm]Im(F(\omega)) = (\omega)^\alpha sin(\alpha *arg(i \omega))[/mm].
> Das ist schonmal ein Ansatz. Aber wie kommt man
> darauf,warum ist  [mm]arg(i \omega) = \pi /2[/mm] und wie muss
> [mm]F(\omega)[/mm] umgeformt werden?

[mm] $\omega$ [/mm] ist reell und positiv, daher liegt [mm] $i\omega$ [/mm] auf der imaginären Achse und [mm]arg(i \omega) = \pi /2[/mm].

[mm] (i \omega)^\alpha = \exp (\alpha \ln (i\omega) ) = \exp (\alpha (\ln \omega + i\pi/2)) = \omega^\alpha \exp(i\alpha\pi/2) = \omega^\alpha( \cos(\alpha\pi/2) + i \sin(\alpha\pi/2)) [/mm]

Der Rest geht über Erweitern des Nennern mit dem konjugiert komplexen.

  Viele Grüße
    Rainer

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Analysis-Komplexe Zahlen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorkurse.de
[ Startseite | Mitglieder | Teams | Forum | Wissen | Kurse | Impressum ]