Raum nicht seperabel < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo, ich verzweifele echt an der Vorlesung, ich verstehe garnichts und kann irgentwie niemanden in der Uni fragen=( *frustriert bin*
Es geht um (nicht-) Seperabilität von Räumen. In der Vorlesung würde gezeigt, dass [mm] (l^{\infty}, \parallel [/mm] . [mm] \parallel_{\infty} [/mm] ) nicht seperabel ist.
[mm] l^{\infty}(\IN) [/mm] = { [mm] x=(x_n)_n \subseteq \IK [/mm] ; [mm] x_n [/mm] ist beschränkt }
Es wurde angenommen, der Raum sei seperabel. D.h. es existiert A={ [mm] a_k;k\in \IN [/mm] } [mm] \subseteq l^{\infty} [/mm] mit [mm] \bar{A} =l^{\infty} [/mm] (das ist ja die Definition). Seien M, M' [mm] \in 2^{\IN} [/mm] (Potenzmenge) mit [mm] M\not=M' [/mm] . Nun existiert [mm] a_{M'},a_M \in [/mm] A , sodass [mm] \parallel 1_M-a_M \parallel_{\infty} \le \frac{1}{4} [/mm] , [mm] \parallel 1_{M'}-a_{M'} \parallel_{\infty} \le \frac{1}{4} [/mm] (??? warum, was bedeutet dass , was bedeutet charakteristische Funktion der Menge minus [mm] a_M, [/mm] diese Stelle verstehe ich garnicht)
wobei [mm] 1_M(x)= \begin{cases} 1, & \mbox{für } x \in M \mbox{ } \\ 0, & \mbox{für } \mbox{ sonst} \end{cases}. [/mm] Es folgt [mm] \parallel a_M-a_{M'} \parallel_{\infty}\ge \frac{1}{2} [/mm] (das verstehe ich noch, es wurde [mm] +1_M-1_M+1_{M'}-1_{M'} [/mm] eingeschoben, umsortiert und dann kommt man mit Abschätzung auf 1/2) Aber was sagt mir das, bzw. was bedeutet dass?.
Insbesondere ist die Abbildung [mm] f:2^{\IN} [/mm] ->A mit M [mm] |->a_M [/mm] injektiv und damit ist A überabzählbar, Widerspruch. Wieso argumentiert man nicht gleich mit der Abbildung und macht noch den Kram davor, wo ich nicht weiss, was dies zeigen soll. Vor allem wieso darf man sagen , dass [mm] a_M \in [/mm] A, weil es ist doch A={ [mm] a_k;k\in \IN [/mm] }, aber A doch nicht ={ [mm] a_k;k\in 2^{\IN } [/mm] } ?? Ich verstehe nur Bahnhof:( . Bin über Erklärungen sehr dankbar!!
Lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 Do 03.05.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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