Raum konvergenter Folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Die Räume der konvergenten FOlgen, bzw. Nullfolgen, sind durch
[mm] c:=\{x=(\xi_k)_{k\in\IN}: \xi_k \in \IK, exist. \limes_{k\rightarrow\infty} \xi_k\},
[/mm]
[mm] c_0:=\{x=(\xi_k)_{k\in\IN}: \xi_k \in \IK, \limes_{k\rightarrow\infty} \xi_k=0\}
[/mm]
[mm] \IK=\IR,\IC
[/mm]
gegeben. Zeigen Sie, dass c und [mm] c_0 [/mm] abgeschlossene Untervektorräume von [mm] l^{\infty} [/mm] (der Raum aller beschränkten Folgen normiert mit Supremumsnorm [mm] ||x||_{\infty} [/mm] := [mm] sup_{k\in\IN}|\xi_k| [/mm] ) bzgl. der Supremumsnorm [mm] ||x||_{\infty} [/mm] sind. Bestimmen Sie den Abschluss des Raums der endlichen Folgen [mm] c_{00} [/mm] in [mm] l^{\infty}. [/mm] |
Hallo,
habe bei dieser Aufgabe für den ersten Teil eine Idee, aber ich weiß nicht, ob meine Idee richtig ist.
c soll ja die Menge aller konvergenten Folgen sein. Um zu zeigen, dass diese Menge abgeschlossen ist, muss ich ja eigentlich nur zeigen, dass die Grenzwerte dieses Raumes auch in c liegen, also auch eine konvergente Folge bilden.
Da ich weiß, dass in c alle Folgen konvergieren, sind die Grenzwerte alle endlich. Nun kann ich ja alle Grenzwerte nehmen und eine Folge bilden.
Natürlich muss ich die Folgenglieder erstmal ordnen, damit diese konvergieren, aber das sollte ja mit dem Wissen, dass diese "Grenzwertfolge" nur endliche Werte hat, kein Problem sein. Ich nehme einfach das Maximum der Folgenglieder von der Folge. Anschließend fehlt dieses Glied und ich nehme wieder das Maximum, also sozusagen, das zweit größte. Und so weiter.
Habe ich dann nicht schon gezeigt, dass diese Folge konvergiert und somit auch zu c gehört?
Danke für jeden hilfreichen Beitrag.
Gruß Walodja1987
|
|
| |
|
Hallo Walodja1987,
> Die Räume der konvergenten FOlgen, bzw. Nullfolgen, sind
> durch
>
> [mm]c:=\{x=(\xi_k)_{k\in\IN}: \xi_k \in \IK, exist. \limes_{k\rightarrow\infty} \xi_k\},[/mm]
>
> [mm]c_0:=\{x=(\xi_k)_{k\in\IN}: \xi_k \in \IK, \limes_{k\rightarrow\infty} \xi_k=0\}[/mm]
>
> [mm]\IK=\IR,\IC[/mm]
>
> gegeben. Zeigen Sie, dass c und [mm]c_0[/mm] abgeschlossene
> Untervektorräume von [mm]l^{\infty}[/mm] (der Raum aller
> beschränkten Folgen normiert mit Supremumsnorm
> [mm]||x||_{\infty}[/mm] := [mm]sup_{k\in\IN}|\xi_k|[/mm] ) bzgl. der
> Supremumsnorm [mm]||x||_{\infty}[/mm] sind. Bestimmen Sie den
> Abschluss des Raums der endlichen Folgen [mm]c_{00}[/mm] in
> [mm]l^{\infty}.[/mm]
> Hallo,
>
> habe bei dieser Aufgabe für den ersten Teil eine Idee, aber
> ich weiß nicht, ob meine Idee richtig ist.
>
> c soll ja die Menge aller konvergenten Folgen sein. Um zu
> zeigen, dass diese Menge abgeschlossen ist, muss ich ja
> eigentlich nur zeigen, dass die Grenzwerte dieses Raumes
> auch in c liegen, also auch eine konvergente Folge bilden.
Nein, die Grenzwerte können *nicht* im Folgenraum liegen: Folgen sind im Grunde Abbildungen der Menge der natürlichen Zahlen in z.B. die reellen bzw. komplexen Zahlen.
> Da ich weiß, dass in c alle Folgen konvergieren, sind die
> Grenzwerte alle endlich. Nun kann ich ja alle Grenzwerte
> nehmen und eine Folge bilden.
Hm, wann denkst Du wirst Du damit fertig? 
Es geht doch darum, zu zeigen: Die Summe zweier konvergenter (beschränkter) Folgen ist wieder eine konvergente (beschränkte) Folge, analog mit dem Skalarprodukt, also [mm]c \cdot a_n[/mm], wobei [mm] (a_n)[/mm] eine konvergente (beschränkte) Folge und [mm] c[/mm] Skalar aus dem Körper ist; und dass das ganze dann auch noch abgeschlossen bzgl. der Suppremumsnorm ist.
Bei diesem Teil kommts darauf an, wie das sog. Vollständigkeitsaxiom formuliert ist
Noch ein Beispiel am Schluß: Folgen müssen nicht (streng) monoton wachsen / fallen, um zu konvergieren. Nimm beispielsweise die Folge
[mm] a_n =\summe_{k=0}^n (-1/2)^k[/mm].
Gruß
zahlenspieler
|
|
|
| |
|
Also muss ich sozusagen die Unterraumaxiome durchgehen und zeigen, dass die Folgen beschränkt sind und ich somit die Supremumsnorm verwenden kann.
Danke vielmals
Gruß Walodja1987
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:01 Mo 18.05.2009 | | Autor: | fred97 |
Zu a) "Abgeschlossenheit von c"
Nimm eine Folge [mm] (x^{(n)}) [/mm] in c und nimm an, es ex. [mm] x=(\xi_k)_{k\in\IN} [/mm] mit
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}||x^{(n)}-x||_{\infty} [/mm] = 0
Es ist zu zeigen: $x [mm] \in [/mm] c$
FRED
|
|
|
|
