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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:48 So 28.10.2007 | | Autor: | schnuri |
| Aufgabe | Wir betrachten die folgende rekursive definierte Folge:
[mm]x_1=1, x_n+1=\frac{x_n}{2}+\frac{1}{x_n}, n=1, 2, 3, ...[/mm]
(a) Sind alle Glieder dieser Folge rational?
(b) Geben Sie den Wert des N-ten Gliedes der Folge für N = 3,4,5,6. Wie Groß ist [mm]\left|x_N^2-2\right|[/mm] in jedem Fall? |
Hallo Zusammen!
kann mir vielleicht jemand mit dieser Aufgabe helfen? Ich habe Mathe schon seit ein paar Jahren nicht mehr gehabt und jetzt an der Uni geht es schnell zur Sache und ich habe noch Schwierigkeiten mathematische Sachverhalte zu formulieren.
Mein Ansatz sieht so aus:
(a) Jede Rationale Zahl lässt sich durch einen Bruch mit zwei ganzen Zahlen darstellen [mm]x=\frac{a}{b}, x \in \IQ, a,b \in \IN[/mm], wobei [mm]b\ne0[/mm]. Jetzt muss ich doch nur irgendwie zeigen, dass einer der Teile irrational ist, z.B. [mm]\frac{1}{x_n}[/mm]? Vielleicht durch ein konkretes Beispiel? Z.B. für $ [mm] x_4 [/mm] $ ist der zweite Teil bereits irrational?
(b) Ergebnisse für 3,4,5,6 siehe unten. Ist das richtig, dass [mm]\left|x_N^2-2\right|[/mm] quasi den Abstand zu Wurzel2 liefert? Dieser wäre dann immer < 0,01. Ist das verlangt? Kann ich das einfach so schreiben?
Die ersten Paar Zahlen:
1 = 1.00000000000000
2 = 1.50000000000000
3 = 1.41666666666667
4 = 1.41421568627451
5 = 1.41421356237469
6 = 1.41421356237309
7 = 1.41421356237309
8 = 1.41421356237309
...
Hier sieht man dass das Ergebnis gegen Wurzel2 kovergiert.
Für einen Hinweis wäre ich dankbar!
Viele Grüße,
schnuri
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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a) Mit einer vollständigen Induktion kann leicht gezeigt werden, dass [mm] $x_n\in\IQ\forall n\in\{1,2,3,\ldots\}$
[/mm]
Setze voraus, dass [mm] $x_k \in \IQ$ [/mm] und zeige dass [mm] $x_{k+1} [/mm] = [mm] \ldots \in\IQ$
[/mm]
b) Verlangt ist, den Wert von [mm] $|x_N^2-2|$ [/mm] anzugeben, von 0.01 steht da nichts.
$N=1: [mm] x_N [/mm] = [mm] 1,\quad |1^2-2| [/mm] = 1$
$N=2: [mm] x_N [/mm] = [mm] \frac{3}{2},\quad |(\frac{3}{2})^2-2| [/mm] = [mm] \frac{1}{4}$
[/mm]
$N=3: [mm] \ldots$
[/mm]
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(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 18:53 Mo 29.10.2007 | | Autor: | schnuri |
Hi leonhard,
stimmt, da war doch was  Super, vielen Dank für deine Hinweise!
(b) ist somit echt einfach, hab die Werte eingesetzt.
Musste die Aufgaben heute abgeben, musste mich nochmal einlesen, wie das mit der vollständigen Induktion geht, aber zur Lösung hat es noch nicht gereicht.
Ich kann es auf diese Formel nicht anwenden!! Bin zu doof. Aber was mir aufgefallen ist: Ich kann ja jede rationale Zahl als Bruch $ [mm] \frac{p}{q} [/mm] $ darstellen, kann ich dann nicht sowas sagen wie
$ [mm] x_n [/mm] = [mm] \frac{p_n}{q_n}, p_n,q_n \in \IN [/mm] $, das könnte ich für n=1 und 2 zeigen und dann schreiben: $ [mm] x_n+1 [/mm] = [mm] \frac{p_n}{2*q_n} [/mm] + [mm] \frac{q_n}{p_n} [/mm] $ und laut Definition für die Addtition von rationalen Zahlen $ +: [mm] \IQ [/mm] x [mm] \IQ \rightarrow \IQ [/mm] $ (oder so ähnlich, ist auch neu für mich). Wäre damit nicht bewiesen, dass für alle n, xn rational ist?
Danke nochmals!!!
Gruß,
Juri
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