Rao-Blackwell < math. Statistik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:29 Sa 11.02.2012 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Seien [mm] $X_1,...,X_n\sim_{iid}\operatorname{SG}(0,\theta)$. [/mm]
Man wende den Satz von Rao-Blackwell an auf den (erwartungstreuen) Schätzer
[mm] $S(X)=\frac{2}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i$ [/mm] und die (suffiziente) Schätzstatistik
[mm] $T(X)=\max_{1\leq i\leq n}X_i$
[/mm]
um einen Schätzer zu finden, der bzgl. der Varianz mindestens genauso gut wie $S(X)$ ist. |
Hallo!
Also im Grunde ist diese Aufgabe für mich klar. Daß S(X) bzw. T(X) erwartungstreu bzw. suffizient sind, habe ich auch schon nachgewiesen.
Dann rechnet man ja nach dem Satz von Rao-Blackwell:
$E(S(X)|T(X))$ und da entsteht dann mein Problem.
Wenn ich das richtig verstanden habe, kann man hier den Erwartungswert eigentlich genauso berechnen, wie man ihn ohne die Bedingung auch errechnen würde, also die Bedingung erstmal gar nicht weiter beachten:
[mm] $E(S(X)|T(X))=E\left(\frac{2}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i|\max_{1\leq i\leq n}X_i\right)=\frac{2}{n}E\left(\sum_{i=1}^{n}X_i|\max_{1\leq i\leq n}X_i\right)=2E\left(X_1|\max_{1\leq i\leq n}X_i\right)$
[/mm]
Mein Problem liegt nun darin,
[mm] $E\left(X_1|\max_{1\leq i\leq n}X_i\right)$
[/mm]
zu berechnen.
Ich würde sagen, daß ich Folgendes rechnen muss:
[mm] $\sum_{X_1=x_1}x_1\cdot P(X_1=x_1|\max_{1\leq i\leq n}X_i)$
[/mm]
Aber wie berechnet man das?
LG
Dennis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:31 Sa 11.02.2012 | | Autor: | dennis2 |
Nicht ein klitzekleines Feedback? 
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:06 So 12.02.2012 | | Autor: | vivo |
Hallo,
für den Bedingten Erwartungswert musst Du dir folgendes überlegen:
Der erste Schätzer kann doch nicht größer sein, als [mm]2 \max X_i[/mm]
welche Verteilung ist mit SG gemient?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:26 So 12.02.2012 | | Autor: | dennis2 |
Was meinst Du mit "der erste Schätzer"?
Meinst Du damit das [mm] $X_1$?
[/mm]
Leider ist mir Dein Hinweis noch unklar.
Mit SG ist die stetige Gleichverteilung gemeint.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:06 So 12.02.2012 | | Autor: | vivo |
Ich meinte S(X) mit erster Schätzer und T(X) wäre dann der zweite. Weil sie halt in der Reihenfolge aufgetreten sind.
Sorry, unklar ausgedrückt!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:20 So 12.02.2012 | | Autor: | dennis2 |
Ich sehe ein, daß der Schätzer nicht größer als [mm] $2\max X_i$ [/mm] werden kann.
Aber ich sehe nicht, wie mir das weiterhilft.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:27 So 12.02.2012 | | Autor: | vivo |
Naja es ist eben der Erwartungswert von [mm]X_1[/mm] unter der Bedingung [mm]\max X_i[/mm] zu bestimmen wobei die ZV's unabhäging stetig gleichverteilt sind. Natürlich kann [mm]X_1[/mm] dann auch nicht größer sein als [mm]\max X_i[/mm].
Im stetigen Fall sind Erwartungswerte übrigens Integrale (aufgrund ihrer Definition) und keine Summen.
Überleg Dir dass doch mal für einen bestimmten Wert von [mm]\max X_i[/mm] aber Achtung:
Die Bedingte Erwartung ist eine ZV!
[mm]\max X_i[/mm] ist ja schließlich zufällig.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:07 So 12.02.2012 | | Autor: | dennis2 |
Dann muss es sicherlich heißen
[mm] $\int_{0}^{\theta}x_1\cdot P(X_1~|~\max_{1\leq i\leq n}X_i)\, dx_1$
[/mm]
Mein Problem ist immer noch das
[mm] $P(X_1~|~\max_{1\leq i\leq n}X_i$.
[/mm]
Du hast gesagt, ich solle das mal für ein konkretes [mm] $X_i$ [/mm] durchdenken.
Ich würde zwei Fälle unterscheiden:
1.) [mm] $\max_{1\leq i\leq n}X_i=X_1$
[/mm]
2.) [mm] $\max_{1\leq i\leq n}X_i\neq X_1$
[/mm]
Im Fall 1 ist doch dann [mm] $P(X_1=x_1~|~\max_{1\leq i\leq n}X_i)=P(X_1=x_1)$
[/mm]
Aber im Fall 2?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:04 So 12.02.2012 | | Autor: | vivo |
Hi,
sorry hier stand Unsinn!
wäre [mm]\max X_i[/mm] z.B. 1 wäre die bedingte Erwartung eine Zahl ! Da [mm]\max X_i[/mm] aber eine Zufallsvariable ist, ist die bedingte Erwartung auch eine Zufallsvariabel !
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:11 So 12.02.2012 | | Autor: | dennis2 |
Edit: Okay, Deinen Weg habe ich jetzt verstanden!
Klar, es leuchtet mir jetzt ein. Man muss ja nur das beachten, wo [mm] $X_1\leq \max X_i$
[/mm]
...habe aber eine Lösung gefunden, die ein wenig anders zu sein scheint:
[mm] $P(X_1|\max X_i)=\frac{1}{n}\delta_{\max X_i}+\frac{n-1}{n}SG(0,\max X_j)$
[/mm]
Und dann der Erwartungswert davon
[mm] $\frac{1}{n}\max X_i +\frac{n-1}{n}\frac{\max X_j}{2}$
[/mm]
Wieso weicht das von Deinem Ergebnis ab?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:36 So 12.02.2012 | | Autor: | vivo |
oh ja sorry, Denkfehler im letzten Beitrag, habs editiert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 06:33 Mo 13.02.2012 | | Autor: | dennis2 |
Könntest Du vllt. erklären, inwiefern die Lösung, die ich da gefunden habe, mit Deiner Lösung identisch ist?
Ich sehe das irgendwie noch nicht.
Und noch eine andere Frage.
Was soll [mm] $\int_{\left\{\max X_i\right\}}$ [/mm] bedeuten?
Steht das für [mm] $\int_0^{\max X_i}$?
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:51 Mo 13.02.2012 | | Autor: | vivo |
Hi,
die Lösung die Du gefunden hast ist richtig, vergiss bitte was ich weiter oben geschrieben hatte, das war falsch!
Es liegt ja eine stetige Verteilung vor, somit kann man den Bedingten Erwartungswert entweder bestimmen, indem man die Dichte für [mm]\max X_i[/mm] und die gemeinsame Dichte von [mm]\max X_i[/mm] und [mm]X_1[/mm] vorliegen hat oder indem man den Erwartungswert von [mm]X_1 [/mm] nach dem bedingten W-Maß nimmt wie in der von Dir gefunden Lösungen!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:14 Mo 13.02.2012 | | Autor: | dennis2 |
Mein Problem ist aber, daß ich die Lösung nicht verstehe.
Wie kommen die darauf?
Vielleicht kannst Du das für mich erklären, denn so lange ich mir das auch anschaue, ich verstehe es nicht.
LG Dennis
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:07 Mo 13.02.2012 | | Autor: | vivo |
Dazu wäre es sehr hilfreich, wenn Du entweder einen Link auf die Lösung posten oder sie in vollständiger Form hier einstellen könntest.
Ich habe das bedingte W-Maß auch sehr lange betrachtet und bin mir mittlerweilen relativ sicher, dass ich weiß warum es diese Gestalt hat, aber um sicher zu gehen, dass ich dir keinen schmarn erzähle wäre eine vollständige Lösung wirklich sehr gut.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:15 Mo 13.02.2012 | | Autor: | dennis2 |
Achso, ja... das wäre hilfreich.
Hier auf Seite 6 von 10:
http://mitschriebwiki.nomeata.de/Statistik1.pdf.8.pdf
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:22 Mo 13.02.2012 | | Autor: | vivo |
ich hoffe es verbessert mich jemand falls dass ezt ein totaler schmarn ist, aber anders kann ich mir es nicht erklären!
Die Wahrscheinlichkeit dass [mm]X_1[/mm] den Rang 1 hat also am größten ist (und somit gleich dem Maximum) ist [mm]\frac{1}{n}[/mm] (gilt aufgrund der Gleichverteilung siehe Literatur zu nichtparametrische Statistik).
Die Wahrscheinlichkeit dass [mm]X_1[/mm] nicht Rang 1 hat ist [mm]\frac{n-1}{n}[/mm]
Da die beiden Fälle disjunkt sind, überlegt welches W-Maß gilt falls [mm]X_1 = \max X_i[/mm] und welches gilt falls [mm]X_1 \neq \max X_i[/mm]
und summiert die beiden Gewichtet mit den Wahrscheinlichkeiten der Fälle um so auf [mm]P^{X_1 | \max X_i}[/mm] zu kommen.
Ist [mm]X_1[/mm] nicht das Maximum so hat es die stetige Gleichverteilung zwischen 0 und [mm]\max X_i[/mm], da es ja nicht größer sein kann als [mm]\max X_i[/mm]
Ist [mm]X_1[/mm] das Maximum so ist die Wahrscheinlichkeit dass [mm]X_1 \in A[/mm] ist entweder 1 falls [mm]\max X_i \in A[/mm] oder im anderen Fall eben 0.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:25 Mo 13.02.2012 | | Autor: | dennis2 |
Man braucht hier Deiner Meinung nach also Nichtparametrik? Das würde erklären, wieso mir das einfach nicht verständlich werden will, denn Nichtparametrik wird erst im nächsten Semester behandelt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:42 Mo 13.02.2012 | | Autor: | vivo |
naja du brauchst ein einzig Resultat (welches ich am ehesten der nichtparametrischen Statistik zuordnen würde), nämlich die Wahrscheinlichkeit dass [mm]X_1[/mm] Rang 1 hat, also das Maximum ist, welche [mm]\frac{1}{n}[/mm] ist. Die Wahrscheinlichkeit, dass [mm]X_1[/mm] nicht das Maximum ist, ergibt sich dann einfach zu [mm]1-\frac{1}{n}[/mm].
Der Rest hat nichts mit nichtparametrisches Statistik zu tun.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:22 Mo 13.02.2012 | | Autor: | dennis2 |
Was meinst du mit A?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:51 Mo 13.02.2012 | | Autor: | vivo |
[mm]A[/mm] ist Teilmenge von [mm]IR[/mm]!
Du willst Dir ja überlegen wie das Wmaß ist, also musst Du dich fragen wie wahrscheinlich es ist, dass [mm]X_1 \in A[/mm] mit [mm]A \in \mathcal{B}[/mm].
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:50 Mo 13.02.2012 | | Autor: | Blech |
Hi,
A ist ein beliebiges Element der [mm] $\sigma$-Algebra.
[/mm]
Das Problem ist, daß für stetig verteiltes X
$P(X=x)$
so keinen Sinn ergibt (ist immer 0, egal was x ist). Aber wir können uns in Gedanken vorstellen, daß
$P(X=x) := [mm] P(X\in (x-\delta, x+\delta))$ [/mm] (*)
für sehr kleines [mm] $\delta>0$.
[/mm]
Der Versuch,
$P(X=x\ |\ [mm] \max_i X_i [/mm] = y)$
sauber zu schreiben, führt aber zu Gehirnverknotungen.
Außer Du willst Sauberkeitspreise gewinnen, würde ich bis
[mm] $\frac [/mm] 1n [mm] P(X_1=x\ [/mm] |\ [mm] X_1=\max_i X_i) [/mm] + [mm] \frac{n-1}{n} P(X_1=x\ [/mm] |\ [mm] X_1<\max_i X_i)$
[/mm]
einfach alles in Anführungszeichen schreiben; sagen daß das nur die bedingten Dichten implizieren soll; und dann komplett auf Dichten umsteigen. =)
ciao
Stefan
*: Genauer gesagt ist das der Weg, wie man zur Dichte kommt:
[mm] $\forall A\in \mathcal{B}(\IR)$ [/mm] gilt
[mm] $P(X\in [/mm] A) = [mm] P(\{\omega\in\Omega\ |\ X(\omega)\in A\}) [/mm] = [mm] \int_{X^{-1}(A)}\ P(d\omega) [/mm] = [mm] \int_A\ (P\circ X^{-1})(dx) [/mm] = [mm] \int_A\ P(X\in [/mm] dx) = [mm] \int_A [/mm] \ [mm] f(x)\, [/mm] dx$
Aber das nur am Rande.
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