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| Aufgabe | | Seien [mm] A,B\in M_{n,n}. [/mm] Zeige die Ungleichung [mm] rg(A+B)\le [/mm] rg(A)+rg(B) |
Hallo. Ich habe versucht obige Ungleichung zu zeigen, bin mir aber nicht ganz sicher ob dies so richtig ist.
Seien folgende Abbildungen gegeben:
[mm] \Phi_A: \IK^{n}\to\IK^{n}; v\mapsto [/mm] Av
[mm] \Phi_B: \IK^{n}\to\IK^{n}, V\mapsto [/mm] Bv
[mm] \Phi: Im(\Phi_A+\Phi_B)\to\IK, v\mapsto [/mm] (A+B)v
Ich zeige zunächst: [mm] Im(\Phi_A+\Phi_B)\subseteq (Im(\Phi_A)+Im(\Phi_B)) [/mm]
Sei [mm] x\in Im(\Phi_A+\Phi_B)\Rightarrow [/mm]
[mm] \exists y\in\IK^{n} [/mm] für das gilt: x=(A+B)y=Ay+By
und da [mm] Ay\in Im(\Phi_A)\wedge By\in Im(\Phi_B) [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in (Im(\Phi_A)+Im(\Phi_B))
[/mm]
Daraus folgt dann:
[mm] dim(Im(\Phi_A+\Phi_B))\le dim(Im(\Phi_A))+dim(Im(\Phi_B))
[/mm]
[mm] \gdw rg(A+B)\le [/mm] rg(A)+rg(B)
Ich würde mich sehr freuen wenn sich das mal jemand kritisch anschauen würde!
Grüße, kulli
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moin,
Zwei kleine Dinge fallen mir bei deiner Beweisführung auf:
1. Was soll [mm] $\Phi$ [/mm] (ohne Index) sein?
Die Abbildung soll nach [mm] $\IK$ [/mm] gehen, aber $(A+B)v$ ist (im Allgemeinen) kein Element des Körpers.
Außerdem benutzt du [mm] $\Phi$ [/mm] sonst nirgends, also was genau soll sie da?
2. Erst mal ein Satz:
Sei $V$ ein Vektorraum und $U,W$ zwei Unterräume von $V$.
Dann gilt $dim(U+W) [mm] \leq [/mm] dim(U) + dim(W)$
Gleichheit gilt genau dann, wenn $U [mm] \cap [/mm] W = [mm] \{ 0 \}$
[/mm]
Wenn du bei deinem Beweis die Dimensionen ins Spiel bringst vernachlässigst du diese Tatsache meiner Meinung nach etwas.
Dein Beweis ist zwar in diesem Punkt richtig, denn das [mm] $\leq$ [/mm] bleibt, allerdings würde ich dir raten einen Schritt zusätzlich einzubauen und diesen Satz kurz zu erwähnen, da er nicht gerade unwichtig ist.
Davon abgesehen sieht dein Beweis aber schon recht gut aus.
lg
Schadow
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> moin,
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> Zwei kleine Dinge fallen mir bei deiner Beweisführung
> auf:
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> 1. Was soll [mm]\Phi[/mm] (ohne Index) sein?
> Die Abbildung soll nach [mm]\IK[/mm] gehen, aber [mm](A+B)v[/mm] ist (im
> Allgemeinen) kein Element des Körpers.
Das sollte [mm] \IK^{n} [/mm] heißen
> Außerdem benutzt du [mm]\Phi[/mm] sonst nirgends, also was genau
> soll sie da?
Ich weiß es gerade selber nicht genau, ich überlege ob die Abbildung überhaupt Sinn macht, so wie ich sie definiert habe..
> 2. Erst mal ein Satz:
> Sei [mm]V[/mm] ein Vektorraum und [mm]U,W[/mm] zwei Unterräume von [mm]V[/mm].
> Dann gilt [mm]dim(U+W) \leq dim(U) + dim(W)[/mm]
> Gleichheit gilt
> genau dann, wenn [mm]U \cap W = \{ 0 \}[/mm]
>
> Wenn du bei deinem Beweis die Dimensionen ins Spiel bringst
> vernachlässigst du diese Tatsache meiner Meinung nach
> etwas.
> Dein Beweis ist zwar in diesem Punkt richtig, denn das
> [mm]\leq[/mm] bleibt, allerdings würde ich dir raten einen Schritt
> zusätzlich einzubauen und diesen Satz kurz zu erwähnen,
> da er nicht gerade unwichtig ist.
Ja ich versuch es nochmal etwas genauer, falls ich schaffe.
Danke erstmal!
> Davon abgesehen sieht dein Beweis aber schon recht gut
> aus.
>
> lg
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> Schadow
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