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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:23 Di 28.09.2004 | | Autor: | eini |
Hallo ihr Schlauen!
Ich denke schon seit einiger Zeit über folgende Aufgaben nach:
1.) Man widerlege folgende Aussagen ( jeweils für nxn Matrizen ) :
a.) r( AB ) = r( BA ) , wobei r der Rang ist und A und B die Matrizen natürl.
b.) r( AB ) [mm] \not= [/mm] r( BA )
Also, zu a.) dachte ich, dies müßte doch stimmen, da bei mxn Matrizen
ja r( AB ) = min ( r( A ) , r( B ) ) gilt , oder gilt dies bei nxn Matrizen nicht??
Ein oder zwei Gegenbeispiele würden mir ja reichen : ) , wie findet man
- systematisch !? -welche ?
2.) Der Rang der mxn Matrix A sei m. Warum hat das LGS Ax = b mindestens eine Lösung ?
Danke euch!
eini
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Hallo eini,
> 1.) Man widerlege folgende Aussagen ( jeweils für nxn
> Matrizen ) :
> a.) r( AB ) = r( BA ) , wobei r der Rang ist und A und B
> die Matrizen natürl.
> b.) r( AB ) [mm]\not=[/mm] r( BA )
Ich verstehe die Aufgabe jetzt so, dass man zeigen soll, dass die Aussagen (a) und (b) nicht für alle Matrizen A und B gelten. Das heisst, man soll Beispiele angeben, wo der Rang einmal gleich und einmal ungleich ist.
> Also, zu a.) dachte ich, dies müßte doch stimmen, da bei
> mxn Matrizen
> ja r( AB ) = min ( r( A ) , r( B ) ) gilt , oder gilt dies
> bei nxn Matrizen nicht??
Diese Gleichung gilt nicht, wie wir gleich sehen werden. Es gilt aber die Ungleichung
r(AB) <= min(r(A), r(B)).
> Ein oder zwei Gegenbeispiele würden mir ja reichen : ) ,
> wie findet man
> - systematisch !? -welche ?
Wir fangen mal beim kleinstmöglichen Fall n=2 an (n=1 funktioniert nicht, weil die Matrizen dann nur Zahlen sind). Um ein Beispiel dafür zu finden, dass r(AB) = r(BA) ist, genügt es A=B und A beliebig zu wählen.
Um ein Beispiel zu finden, dass r(AB) [mm] \neq [/mm] r(BA) ist, überlegen wir uns, welche Ränge in Frage kommen. r(AB) kann nicht 2 sein, weil dann A und B selbst den Rang 2 haben müssten, also invertierbar wären. Dann wäre BA ebenfalls invertierbar und hätte auch den Rang 2. Die beiden verschiedenen Ränge, die wir haben wollen, sind also 0 und 1.
Welche 2x2-Matrizen haben den Rang 0? Nur die Nullmatrix. Also muss AB = 0 sein. Aber BA soll nicht die Nullmatrix sein.
Entweder du stellst jetzt ein Gleichungssystem auf oder du probierst ein wenig herum mit Elementarmatrizen.
> 2.) Der Rang der mxn Matrix A sei m. Warum hat das LGS Ax = b mindestens eine Lösung ?
Kennst du schon den Satz
"Das Gleichungssystem Ax = b ist genau dann lösbar, wenn r(A) = r(A,b)."?
Dabei ist (A,b) die erweiterte Koeffizientenmatrix.
Mit diesem Satz kannst du diese Teilaufgabe leicht lösen, indem du zeigst, dass r(A.b) nicht grösser als r(A) sein kann.
Lieben Gruss,
Irrlicht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:16 Di 28.09.2004 | | Autor: | eini |
Hallo Irrlicht!
Vielen Dank!
Durch Probieren bin ich schnell auf zwei 2x2 Matrizen gestoßen, die, je nachdem "wie herum" man sie miteinander multipliziert, mal die Nullmatrix
ergibt, mal nicht...
Mein Beispiel:
[mm] \pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 0 } [/mm] und [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 1 & 0 } [/mm] ...
Ist erstere eigentlich eine Elementarmatrix?
Mein Gleichungssystemansatz erstickte irgendwie, bin noch zu ungeübt...
Der Start war:
a11xb11 + a12xb21 = 0
a21xb11 + a22xb21 = 0
a11xb12 + a12xb22 = 0
a21xb12 + a22xb22 = 0
Dann habe ich die oberen beiden und die unteren beiden jeweils gleichgesetzt - da ja beide = 0 sind - dabei bekam ich dann leider
"unausschreiblichen" Blödsinn heraus...
War denn der Ansatz richtig? Das Bsp. habe ich ja auch nur durch Raten gefunden.
Zu 2.)
Ich kenne diesen Satz, sagst Du mi vielleicht noch den nächsten Schritt : ) ?
Dann probiere ich es selber...
Danke!
eini
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:38 Mi 29.09.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo eini!
> Durch Probieren bin ich schnell auf zwei 2x2 Matrizen
> gestoßen, die, je nachdem "wie herum" man sie miteinander
> multipliziert, mal die Nullmatrix
> ergibt, mal nicht...
>
> Mein Beispiel:
>
> [mm]\pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 0 }[/mm] und [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 1 & 0 }[/mm] ...
> Ist erstere eigentlich eine Elementarmatrix?
Nach dieser Definition nicht, die zweite auch nicht.
> Mein Gleichungssystemansatz erstickte irgendwie, bin noch
> zu ungeübt...
>
> Der Start war:
> a11xb11 + a12xb21 = 0
> a21xb11 + a22xb21 = 0
> a11xb12 + a12xb22 = 0
> a21xb12 + a22xb22 = 0
>
> Dann habe ich die oberen beiden und die unteren beiden
> jeweils gleichgesetzt - da ja beide = 0 sind - dabei bekam
> ich dann leider
> "unausschreiblichen" Blödsinn heraus...
> War denn der Ansatz richtig? Das Bsp. habe ich ja auch nur
> durch Raten gefunden.
Ja, der Ansatz ist richtig.
Dazu schreiben würde ich noch die vier Gleichungen, die durch die kommutierte Multiplikation der Matrizen entstehen.
Der Einfachheit halber könntest du dir als Ergebnis die [mm] $\pmatrix{1&0\\0&0}$ [/mm] als Ergebnis dieser Multiplikation vorgegen (diese Matrix hat ja Rang 1).
Nun gibt es kein festes Schema, diese acht Gleichungen zu lösen, aber man kann systematischer probieren.
Zum Beispiel könntest du ja mal probieren, eine Lösung zu finden, indem du annimmst, dass alle Matrizen-Einträge nichtnegativ sind.
Dann würde ich mir zwei Einträge suchen, die ich gefahrlos (ohne eine der Gleichungen zu verletzen) gleich Null setzen kann und auf eine schöne Folgerungskette hoffen...
> Zu 2.)
>
> Ich kenne diesen Satz, sagst Du mi vielleicht noch den
> nächsten Schritt : ) ?
> Dann probiere ich es selber...
Vielleicht erst noch einen Tipp: Der Rang einer Matrix kann nicht größer sein als die Anzahl der Zeilen oder Spalten.
Viele Grüße aus Holsterhausen,
Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:16 Do 30.09.2004 | | Autor: | eini |
Hallo Marc!
Danke für die Antwort!
Also, das mit dem Gleichungssystem mache ich mal am Wochenende, das scheint ein wenig "auszuarten"...
Sag´ mal, stimmt das also, daß bei mxn Matrizen A,B die Aussage
rang ( AB ) = rang ( BA ) immer richtig ist ( wenn natürlich diese Multiplikation def. ist ..) ?? Im Gegensatz zu quadratischen Matrizen, wo diese Aussage ja nur "meistens" stimmt.Das ist wirklich sehr interessant!
Ich kannte auch den zweiten Satz - also deinen Tip in Aufg.2 - bin wohl auch auf die Lösung gekommen.
Also, danke nochmal und
schöne Grüße zurück nach Holsterhausen aus der Stadtmitte!
eini
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:06 Do 30.09.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo eini!
> Also, das mit dem Gleichungssystem mache ich mal am
> Wochenende, das scheint ein wenig "auszuarten"...
Okay. 
> Sag´ mal, stimmt das also, daß bei mxn Matrizen A,B die
> Aussage
> rang ( AB ) = rang ( BA ) immer richtig ist ( wenn
> natürlich diese Multiplikation def. ist ..) ??
Nein, denn die gleichzeitige Bildung von "AB" und "BA" ist ja nur bei quadratischen Matrizen möglich. Und da gilt sie...
> Im Gegensatz
> zu quadratischen Matrizen, wo diese Aussage ja nur
> "meistens" stimmt.Das ist wirklich sehr interessant!
... auch nur in speziellen Fällen.
> Ich kannte auch den zweiten Satz - also deinen Tip in
> Aufg.2 - bin wohl auch auf die Lösung gekommen.
Sehr gut, kannst uns die Begründung gerne hier vorstellen, zu deiner eigenen Sicherheit.
> Also, danke nochmal und
>
> schöne Grüße zurück nach Holsterhausen aus der
> Stadtmitte!
In der Stadtmitte gibt es Wohnungen?
Viele Grüße,
Marc
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