Rang und Lösbarkeit < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Es sei A eine reelle (m,n) Matrix. Zeigen Sie: Ist das LGS Ax=b lösbar, so ist auch das LGS [mm] A^{T} [/mm] Ax = [mm] A^{T}b [/mm] lösbar und die Lösungsmengen sind gleich.
Hier mein Lösungsversuch:
LGS Ax=b lösbar [mm] \gdw [/mm] rg(A) = rg(A|b) [mm] \rightArrow [/mm] L(A, b)
Nun multipliziere ich einfach das LGS mit [mm] A^{T} [/mm] (von links):
[mm] A^{T} [/mm] Ax = [mm] A^{T} [/mm] b
Jetzt könnte ich behaupten, dass [mm] rg(A^{T} [/mm] Ax) = [mm] rg(A^{T} [/mm] b) ist - dann wäre nämlich gezeigt, dass auch dieses LGS lösbar ist. Die Multiplikation von [mm] A^{T} [/mm] mit Ax ist ja definiert, da [mm] A^{T} [/mm] eine (n,m) und A eine (m,n) Matrix ist. Aber wie ich auf den Rang komme ist mir nich klar. Stimmt mein Ansatz überhaupt bisher?
Wie zeige ich, dass dann die Lösungsmengen gleich sind?
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Hmmm noch ein Gedanke: [mm] A^{T} [/mm] * A ergibt immer eine (n,n) Matrix, falls A eine (m,n) Matrix ist - stimmt das? Falls ja, dann gibts doch da bestimmt einen tollen Satz über die Lösbarkeit. Ich meine da mal was gelesen zu haben.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Mo 17.12.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 Mo 17.12.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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