Rang einer lin. Abb. < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo!
Meine Aufgabe lautet wie folgt:
(a) Sei f: [mm] \IR^{4}\to \IR^{4} [/mm] die lineare Abbildung mit f(x)=Ax für A= [mm] \pmat{ 2 & 4 & 1 & 0\\ 1 & -2 & 3 & 1 \\ 2 & 4 & 1 & 0 \\ 1 & -2 & 3 & 1 }.
[/mm]
Bestimmen Sie eine Basis von Ker f. Konstruieren Sie eine Matrix B [mm] \in [/mm] Mat (4,4; [mm] \IR) [/mm] mit Rang(B)=2 derart, dass A*B=0 gilt.
(b) Seien A,B [mm] \in [/mm] Mat (n,n;K) mit A*B=0. Zeigen Sie Rang(A) + Rang(B) [mm] \le [/mm] n.
----------------------------------------------------
Zu a):
Es gilt: Ker f:= [mm] {x\inV: f(x) =0}
[/mm]
Nun habe ich die Matrix A in Zeilenstufenform gebracht:
[mm] \pmat{ 1 & -2 & 3 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 }
[/mm]
Durch die freien und gebundenen Variablen komme ich dann auf das Ergebnis, dass die Basis von Ker f [mm] B={\vektor{2 \\ 1\\ 0\\ 0}, \vektor{-3 \\ 0\\ 1\\ 0}, \vektor{-1 \\ 0\\ 0\\ 1}} [/mm] ist.
Mein Problem ist jetzt wie ich die Matrix B konstruieren muss... gibt es irgendeinen Satz über den Rang den man hier beachten muss?
Zu b):
Hier weiss ich leider auch keinen Lösungsansatz
|
|
| |
|
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo!
> Meine Aufgabe lautet wie folgt:
>
> (a) Sei f: [mm]\IR^{4}\to \IR^{4}[/mm] die lineare Abbildung mit
> f(x)=Ax für A= [mm]\pmat{ 2 & 4 & 1 & 0\\ 1 & -2 & 3 & 1 \\ 2 & 4 & 1 & 0 \\ 1 & -2 & 3 & 1 }.[/mm]
>
> Bestimmen Sie eine Basis von Ker f. Konstruieren Sie eine
> Matrix B [mm]\in[/mm] Mat (4,4; [mm]\IR)[/mm] mit Rang(B)=2 derart, dass
> A*B=0 gilt.
>
> (b) Seien A,B [mm]\in[/mm] Mat (n,n;K) mit A*B=0. Zeigen Sie Rang(A)
> + Rang(B) [mm]\le[/mm] n.
> ----------------------------------------------------
>
> Zu a):
> Es gilt: Ker f:= [mm]{x\inV: f(x) =0}[/mm]
> Nun habe ich die Matrix
> A in Zeilenstufenform gebracht:
>
> [mm]\pmat{ 1 & -2 & 3 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> Durch die freien und gebundenen Variablen komme ich dann
> auf das Ergebnis, dass die Basis von Ker f [mm]B={\vektor{2 \\ 1\\ 0\\ 0}, \vektor{-3 \\ 0\\ 1\\ 0}, \vektor{-1 \\ 0\\ 0\\ 1}}[/mm]
> ist.
> Mein Problem ist jetzt wie ich die Matrix B konstruieren
> muss... gibt es irgendeinen Satz über den Rang den man hier
> beachten muss?
Hallo,
wenn Deine ZSF stimmt, was ich nicht nachgerechnet habe, ist die Basis des Kerns richtig.
Diese drei Vektoren sind also eine Basis des UVR, der auf die 0 abgebildet wird.
Du suchst nun A*B=0.
Wenn Du die zu B gehörige Abbildung so organisiert, daß zwei der Einheitsvektoren auf Kernbasisvektoren von A abgebildet werden und die anderen beiden auf die Null, sollt's doch funktionieren.
> Zu b):
> Hier weiss ich leider auch keinen Lösungsansatz
Das würde ich per Widerspruch versuchen.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
> Du suchst nun A*B=0.
>
> Wenn Du die zu B gehörige Abbildung so organisiert, daß
> zwei der Einheitsvektoren auf Kernbasisvektoren von A
> abgebildet werden und die anderen beiden auf die Null,
> sollt's doch funktionieren.
Die Einheitsvektoren sind doch von B [mm] \in Mat(4,4;\IR) \vektor{1 \\ 0\\0 \\0}, \vektor{0 \\ 1\\0 \\0}, \vektor{0 \\ 0\\1 \\0} [/mm] und [mm] \vektor{0 \\ 0\\0 \\1}.
[/mm]
Die Kerbasisvektoren von A sind ja [mm] $\vektor{2 \\ 1\\ 0\\ 0}, \vektor{-3 \\ 0\\ 1\\ 0}, \vektor{-1 \\ 0\\ 0\\ 1} [/mm] $
Was ich nicht genau verstehe ist, wie ich die Einheitsvektoren auf die Kernbasisvektoren und auf die Null abbilde.
|
|
|
| |
|
> > Du suchst nun A*B=0.
> >
> > Wenn Du die zu B gehörige Abbildung so organisiert, daß
> > zwei der Einheitsvektoren auf Kernbasisvektoren von A
> > abgebildet werden und die anderen beiden auf die Null,
> > sollt's doch funktionieren.
>
> Die Einheitsvektoren sind doch von B [mm]\in Mat(4,4;\IR) \vektor{1 \\ 0\\0 \\0}, \vektor{0 \\ 1\\0 \\0}, \vektor{0 \\ 0\\1 \\0}[/mm]
> und [mm]\vektor{0 \\ 0\\0 \\1}.[/mm]
>
>
> Die Kenrbasisvektoren von A sind ja [mm]\vektor{2 \\ 1\\ 0\\ 0}, \vektor{-3 \\ 0\\ 1\\ 0}, \vektor{-1 \\ 0\\ 0\\ 1}[/mm]
>
> Was ich nicht genau verstehe ist, wie ich die
> Einheitsvektoren auf die Kernbasisvektoren und auf die Null
> abbilde.
Hallo,
das ist aber ziemlich tragisch...
Du solltest wissen, daß lineare Abbildungen durch die Angabe ihrer Werte auf einer Basis eindeutig bestimmt sind.
Du sagst also einfach: "dieser Vektor soll auf den da abgebildet werden, jener auf den" und stellst die zugehörige Abbildungsmatrix auf.
Abbildungsmatrizen aufstellen kannst Du?
Das Bild des i_ten Basisvektors kommt in die i-te Spalte.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Kann ich einfach sagen meine Matrix soll aus den Vektoren: $ [mm] \vektor{2 \\ 1\\ 0\\ 0}, \vektor{-3 \\ 0\\ 1\\ 0} [/mm] $ und [mm] \vektor{0 \\ 0\\ 0\\ 0}, \vektor{0 \\ 0\\ 0\\ 0}?
[/mm]
|
|
|
| |
|
> Kann ich einfach sagen meine Matrix soll aus den Vektoren:
> [mm]\vektor{2 \\ 1\\ 0\\ 0}, \vektor{-3 \\ 0\\ 1\\ 0}[/mm] und
> [mm]\vektor{0 \\ 0\\ 0\\ 0}, \vektor{0 \\ 0\\ 0\\ 0}?[/mm]
Hallo,
sagen kann man das auf jeden Fall - dann muß man überlegen, ob es richtig ist.
Hast Du schon ausprobiert, ob A*B dann 0 ergibt? Wenn nicht, muß man überlegen, wie das kommt.
Ansonsten:
[mm] Be_1 [/mm] ist im kern, und wenn ich jetzt A drauf anwende, wird das Null.
Die anderen entsprechend.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:54 Di 16.12.2008 | | Autor: | fred97 |
Zu (b):
Wir identifizieren Matrizen mit linearen Abbildungen. Also A,B : [mm] K^n [/mm] --> [mm] K^n [/mm] linear und AB = 0.
Dann: Bild(B) [mm] \subseteq [/mm] Kern(A) , somit: Rang(B) [mm] \le [/mm] dim Kern(A).
Es folgt (mit einer bekannten Formel):
Rang(A) + Rang(B) [mm] \le [/mm] Rang(A) + dim Kern(A) = n.
FRED
|
|
|
|
