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Hi,
ich habe eine etwas "blöde" Aufgabe, die sich einfach nicht lösen lassen will.
Gegeben:
K-lineare Abbildung: [mm] \alpha [/mm] : V [mm] \to [/mm] W
Duale Abbildung dazu: [mm] \alpha [/mm] * : W* [mm] \to [/mm] V*
a) Beweise folgende Aussage
Der Rang von [mm] \alpha [/mm] ist gleich dem Rang von [mm] \alpha [/mm] *
b) Und widerlege folge Aussage
[mm] Bild(\alpha) [/mm] = [mm] Bild(\alpha [/mm] *)
Aus welchem Grund kann dies nicht sein.
Wirklich viel habe ich dazu nicht, weil ich einfach nicht weiß wie ich das zeigen kann.
Mein Ansatz zu a:
Der Rang einer Abbildung entspricht der Dimension des Bildes. Also gilt:
Dim(Bild( [mm] \alpha [/mm] ) = Dim(W) - [mm] Dim(Kern(\alpha))
[/mm]
Ja und weiter komm ich auch schon nicht. Ich muss irgendwie aus Dim(W) ein Dim(W*) und [mm] Dim(Kern(\alpha)) [/mm] ein [mm] Dim(Kern(\alpha [/mm] *)) machen.
Und zu b habe ich keinen Ansatz.
Vielleicht weiß ja jemand etwas mehr und kann mir aus meiner Lage raushelfen.
LG
Prof
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> Hi,
> ich habe eine etwas "blöde" Aufgabe, die sich einfach
> nicht lösen lassen will.
> Gegeben:
> K-lineare Abbildung: [mm]\alpha[/mm] : V [mm]\to[/mm] W
> Duale Abbildung dazu: [mm]\alpha[/mm] * : W* [mm]\to[/mm] V*
>
> a) Beweise folgende Aussage
> Der Rang von [mm]\alpha[/mm] ist gleich dem Rang von [mm]\alpha[/mm] *
Hallo,
schau mal in Deinen Unterlagen nach, was Ihr über die darstellungmatrizen von [mm] \alpha [/mm] und [mm] \alpha^{\*} [/mm] notiert habt. Damit ist das dann eine schnelle Sache.
>
> b) Und widerlege folge Aussage
> [mm]Bild(\alpha)[/mm] = [mm]Bild(\alpha[/mm] *)
> Aus welchem Grund kann dies nicht sein.
Schau Dir an, von welchen Mengen die beiden Bilder Teilmengen sind.
Gruß v. Angela
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Hi,
erstmal vielen Dank für deine Antwort.
In der Uni haben wir noch nichts zu Dualräumen und dualen Abbildungen gehabt. Mein Prof dachte sich, dass es was für die Übungszettel ist.
Vielleicht kann mir ja jemand ein bisschen was zu a erklären oder mir eine Lösung posten, die ich mir anschauen kann.
Einen Beweis dazu habe ich gefunden, aber da sind Sachen drin, die wir in der Uni einfach noch nicht hatten (unter anderem Orthogonalität).
Zu b, da habe ich mich verschrieben *sorry*
Es müsste eigentlich lauten:
[mm] (Bild(\alpha)) [/mm] * = [mm] Bild(\alpha [/mm] *)
Da habe ich mir folgendes überlegt:
Also [mm] \alpha [/mm] * : W* [mm] \to [/mm] V* , [mm] (\beta [/mm] : W [mm] \to [/mm] K) [mm] \mapsto (\beta \circ \alpha [/mm] : V [mm] \to [/mm] K)
Somit wäre:
Bild [mm] (\alpha [/mm] *) [mm] \subseteq [/mm] (V [mm] \to [/mm] K) = V*
[mm] (Bild(\alpha)) [/mm] * [mm] \subseteq [/mm] W*
Deswegen können sie nicht gleich sein.
Würde mich freuen, wenn mir jemand bei der a helfen könnte und falls die b falsch ist mich korrigieren.
LG
Prof
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:44 Do 31.12.2009 | | Autor: | valoo |
Ist dein Prof zufällig Bux?
Um die Gleichheit der Dimensionen zu zeigen, kann man relativ einfach einen Isomorphismus zwischen [mm] (Bild(\alpha) [/mm] * und [mm] Bild(\alpha [/mm] *) konstruieren. Damit sind auch [mm] Bild(\alpha) [/mm] und [mm] Bild(\alpha [/mm] *) gleich dimensional, da [mm] dim(Bild(\alpha) [/mm] * [mm] =dim(Bild(\alpha)*dim(K)
[/mm]
Zum Isomorphismus:
Nehme dir ein [mm] \lambda\circ\alpha [/mm] aus dem Bild von [mm] \alpha [/mm] * und bilde es auf
[mm] \omega: im(\alpha) \to [/mm] K
w [mm] \mapsto \lambda(w) [/mm]
ab. Das Teil ist offensichtlich linear und Bijektivität ist auch schnell gezeigt, damit ist es ein Isomorphismus, also sind die Dimensionen gleich.
Muss man das bei der anderen Aufgabe allgemein machen? Ich habe da einfach gezeigt, dass eine K-lineare Abbildung [mm] \alpha [/mm] existiert, sodass [mm] Bild(\alpha) [/mm] * [mm] \not= Bild(\alpha [/mm] *)
Eine andere Lösung zur ersten Aufgabe:
http://www.mathhelpforum.com/math-help/linear-abstract-algebra/121411-dual-map-dimension.html
Ich kann aber nicht behaupten, dass ich das verstehen würde.
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