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| Aufgabe | Bestimmen Sie den Rang folgender Matrix:
[mm] \pmat{ 2 & 0 & 2\\ 0 & 1 & 1\\ 8 & -4 & 4 } [/mm] |
Hallo,
kann mir jemand vielleicht sagen, warum der Rang dieser Matrix gleich 2 sein soll ( steht so im Buch). Ich kann das nicht so ganz nachvollziehen, denn der Rang einer Matrix ist doch gleich die Maximalzahl an linear unabhängigen Spalten bzw. Zeilen in der Matrix. Aber sind hier nicht alle drei Zeilen bzw. Spalten linear unabhängig voneinander, da ja keine ein Vielfaches der anderen ist?! Oder was sehe ich hier falsch?
Viele Grüße
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> Bestimmen Sie den Rang folgender Matrix:
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> [mm]\pmat{ 2 & 0 & 2\\ 0 & 1 & 1\\ 8 & -4 & 4 }[/mm]
> Hallo,
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> kann mir jemand vielleicht sagen, warum der Rang dieser
> Matrix gleich 2 sein soll ( steht so im Buch).
Hallo,
hast Du die matrix denn mal auf Zeilenstufenform geracht?
Du erhältst 2 Nichtnullzeilen, also ist der Rang =2.
Es sind die Spalten auch nicht linear unabhängig denn es ist 1*Spalte1 +1*Spalte2-1*Spalte3=Nullvektor.
> Aber sind hier nicht
> alle drei Zeilen bzw. Spalten linear unabhängig
> voneinander, da ja keine ein Vielfaches der anderen ist?!
> Oder was sehe ich hier falsch?
Schau Dir mal die Definition der linearen Unabhängigkeit an.
Gruß v. Angela
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hallo nochmal,
also ich habe jetzt die Matrix nocheinmal auf Zeilenstufenform gebracht und folgende Matrix herausbekommen:
[mm] \pmat{ 8 & -4 & 4 \\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
Dementsprechend hat die Matrix einen Rang von 2, da die ersten zwei Zeilen ja linear Unabhängig voneinander sind da der Nullvektor nur durch die triviale Linearkombination dargestellt werden kann. Ist das richtig so?
Aber was ich jetzt nicht verstehe: Du schreibst, dass die Spalten alle voneinander lin. abhängig sind. Das sehe ich auch, da ja der Nullvektor durch eine nicht triviale Linearkombination dargestellt werden kann. Aber wäre dann nicht der Spaltenrang gleich eins. Und müßte nicht eigentlich generell Zeilenrang gleich Spaltenrang sein????
Andererseits kann ich doch durch elementare Spaltenumformungen eine Matrix erzeugen, die zwei Nichtnullspalten entält? Und zwar indem ich erst die zweite Spalte von der dritten abziehe und dann nochmal die erste von der dritten abziehe. Dann erhalte ich diese Matrix:
[mm] \pmat{ 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\\ 8 & -4 & 0 }
[/mm]
Wäre dann nicht wieder der Spaltenrang gleich zwei??? Irgendwie blicke ich nicht mehr durch. Vielleicht kann mir jemand helfen...
Viele Grüße aus Bremen!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:19 Sa 21.06.2008 | | Autor: | Kroni |
> hallo nochmal,
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> also ich habe jetzt die Matrix nocheinmal auf
> Zeilenstufenform gebracht und folgende Matrix
> herausbekommen:
>
> [mm]\pmat{ 8 & -4 & 4 \\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> Dementsprechend hat die Matrix einen Rang von 2, da die
> ersten zwei Zeilen ja linear Unabhängig voneinander sind da
> der Nullvektor nur durch die triviale Linearkombination
> dargestellt werden kann. Ist das richtig so?
Hi,
genau. Du kannst auch alternativ sagen, dass die Matrix zwei Pivot-Spalten hat, und damit ist der Rang der Matrix gleich 2.
>
> Aber was ich jetzt nicht verstehe: Du schreibst, dass die
> Spalten alle voneinander lin. abhängig sind. Das sehe ich
> auch, da ja der Nullvektor durch eine nicht triviale
> Linearkombination dargestellt werden kann.
Das ist soweit richtig
> Aber wäre dann
> nicht der Spaltenrang gleich eins. Und müßte nicht
> eigentlich generell Zeilenrang gleich Spaltenrang sein????
Ja, Zeilenrang gleich Spaltenrang. Also: Du hast ja nur die Info, dass die drei Spalten lin. abhängig sind. D.h. du kannst mindestens eine Spalte durch Linearkombination der anderen beidne Spalten darstellen. Es kann doch folgendes Szenario eintreten:
Lässt du eine Spalte weg, weil du ja weist, dass mind. eine Spalte als Linearkombination der anderen darstellbar ist, dann kannst du ja nochmal auf Lineare Unabhängigkeit prüfen. Es kann ja sein, dass diese beiden Spalten, die du jetzt noch überhast, linear unabhängig sind (wie in dienem Fall => Spaltenrang = 2), oder dass die beiden Spalten auch noch linear abhängig sind. Falls das Szenario eintritt, dann ist die eine Spalte ein Vielfaches der Anderen, und du kannst die zweite Spalte auch noch weglassen, und weist, dass der Spaltenrang gleich 1 ist.
Ist das jetzt ein wenig klarer, dass man bei der linearen Abhängigkeit nicht sofort sagen kann, ob der Rang 1 oder 2 ist (oder n im Allgemeinen Fall).
Also nochmal kurz: Nur duch die Info, dass die Spalten abhängig sind, kann man nichts über den Rang aussagen, außer, dass die Matrix keinen vollen Rang hat. Erst nach der Rechnung ax+by+cz=0 kann man sagen, wie der Rang ist.
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> Andererseits kann ich doch durch elementare
> Spaltenumformungen eine Matrix erzeugen, die zwei
> Nichtnullspalten entält? Und zwar indem ich erst die zweite
> Spalte von der dritten abziehe und dann nochmal die erste
> von der dritten abziehe. Dann erhalte ich diese Matrix:
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> [mm]\pmat{ 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\\ 8 & -4 & 0 }[/mm]
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> Wäre dann nicht wieder der Spaltenrang gleich zwei???
Genau. Ich habe deine Rechnung jetzt nicht nachvollzogen, aber die wird stimmen.
Indem du elementare Spaltentrafos machst, prüfst du ja gerade das von mir oben geschriebene nach. Du löst dann ja das oben genannte Gleichungssystem, und bekommst deine Abhängigkeiten raus. Denn durch die Rechnung kannst du sagen: Okay, mein c kann ich frei wählen, d.h. das a und b sind Festgelegt, ich kann nur mein c frei wählen, also sind die erste und zweite Spalte lin. unabhängig. Und genau das bekommst du dann ja durch die Rechnung auch raus.
In dem Fall ist also, wie es auch sein muss, Spaltenrang gleich Zeilenrang.
> Irgendwie blicke ich nicht mehr durch. Vielleicht kann mir
> jemand helfen...
Ich hoffe, dass das einigermaßen verständlich ist, was ich geschrieben habe =)
Beste Grüße,
Kroni
>
> Viele Grüße aus Bremen!
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Hallo kroni,
vielen Dank für die Antwort. Hat mir schonmal geholfen...
viele Grüße aus Bremen!
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