Rang einer Matrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass die Anzahl der lin. unabh. Zeilen einer Matrix unter Zeilenoperationen unveränderlich bleibt und gleich dem Rang der matrix ist. |
Habe leider absolut keine Ahnung wie ich das mathematisch beweisen könnte.
Es würde mir sehr helfen, wenn mir jemand beim Ansatz helfen könnte...., da liegt mehr oder weniger mein Problem....
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Vielen Dank im Voraus
Christina
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Bist nicht zufällig an der Uni Kaiserslautern, oder ?
Nun, ich versuche das Ganze jetzt mal relativ kurz fassen - notfalls kann man das dann ausführlich erläutern:
Ihr habt vermutlich den Rang der Matrix mit der Anzahl der Stufen bei einer Zeilenstufenform definiert, d.h. Du musst im Endeffekt nur zeigen, dass die Anzahl der linear unabhängigen Zeilen gleich dem Rang der Matrix ist - bspw. indem Du das Ganze mittels vollständiger Induktion löst . Für n=1 isses offensichtlich... bei einer n+1 x m Matrix kannst Du dann eine Stufe eindeutig bestimmen und müsstest dann die IV anwenden können.
Dass die Anzahl linear unabhängiger Vektoren konstant bleibt, kann man einfach mittels Linearkombination zeigen, indem man sich eine "neue Zeile" l' definiert, die nichts anderes ist als die alte Zeile l addiert mit Zeile j (analog für die Multiplikation) . Dann kannst Du überprüfen, ob die neue Zeile mit den restlichen alten Zeilen immernoch linear unabhängig ist . Dabei ist das Ganze - sobald Du es für eine beliebige Zeile durchgeführt hast - auch schon erledigt (dass natürlich linear abhängige Vektoren immer noch linear abhängig bleiben bzw. die linear unabhängige Vektoren bei Addition einer abhängigen Zeile immernoch linear unabhängig ist, kann man eigentlich - da absolut trivial - weglassen).
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