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Forum "Lineare Abbildungen" - Rang, Kern
Rang, Kern < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Rang, Kern: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:01 Fr 01.08.2008
Autor: bigalow

Aufgabe
[Dateianhang nicht öffentlich]

$rg [mm] A_0 [/mm] =2$ lässt sich sofort ablesen.

Durch Umformen komme ich auf folgende Matrix [mm] A_c: [/mm]

[mm] \pmat{ c(c-1) & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 &1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & c(2-5c) } [/mm]

Also ist $rg [mm] A_1=3=rg A_\frac{2}{5}$. [/mm] Für alle anderen c ist der Rang 4.

Wie aber mache ich das mit der Basis für "die Kerne".  Der Kern ist doch was auf die Null abgebildet wird... bei c=0 hat der Kern die Dimension 0 und bei c=1 die Dimension 1 und bei c=2 gibt es gar keinen Kern, da voller Rang.
Weiter komme ich nicht.

Besten Dank für eure Hilfe!
  

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
        
Bezug
Rang, Kern: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:32 Fr 01.08.2008
Autor: MathePower

Hallo bigalow,

> [Dateianhang nicht öffentlich]
>  [mm]rg A_0 =2[/mm] lässt sich sofort ablesen.
>  
> Durch Umformen komme ich auf folgende Matrix [mm]A_c:[/mm]
>  
> [mm]\pmat{ c(c-1) & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 &1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & c(2-5c) }[/mm]
>  
> Also ist [mm]rg A_1=3=rg A_\frac{2}{5}[/mm]. Für alle anderen c ist
> der Rang 4.
>  
> Wie aber mache ich das mit der Basis für "die Kerne".  Der
> Kern ist doch was auf die Null abgebildet wird... bei c=0
> hat der Kern die Dimension 0 und bei c=1 die Dimension 1
> und bei c=2 gibt es gar keinen Kern, da voller Rang.


Sicher gibt es einen Kern für c=2.


>  Weiter komme ich nicht.


Löse einfache das Gleichungssystem

[mm]\pmat{c*\left(c-1\right) & 0 & 0 & c*(c-1) \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2c \\ c*\left(c-1\right) & 0 & 2c & c} * \pmat{v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3} \\ v_{4}} =\pmat{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0}[/mm]

in Abhängigkeit von c.

Dann erhältst Du für Rang A < 4, parameterabhängige Lösungen

Die Lösungen schreiben sich daher so:

[mm]v=a_{1}*w_{1}+ \ \dots \ + a_{n}*w_{n}[/mm]

mit beliebigem [mm]a_{k} \in \IR, \ w_{k} \in \IR^{4}, \ 1 \le k \le n[/mm]

Dann ist [mm]w_{1}, \ \dots \ ,w_{n}[/mm] eine Basis des Kerns.

Für Rang A = 4 gibt es logischerweise nur eine einzige Lösung.


>  
> Besten Dank für eure Hilfe!
>    


Gruß
MathePower

Bezug
                
Bezug
Rang, Kern: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:37 Fr 01.08.2008
Autor: bigalow


> Hallo bigalow,

> Löse einfache das Gleichungssystem
>  
> [mm]\pmat{c*\left(c-1\right) & 0 & 0 & c*(c-1) \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2c \\ c*\left(c-1\right) & 0 & 2c & c} * \pmat{v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3} \\ v_{4}} =\pmat{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
>  
> in Abhängigkeit von c.

Okay dann komme ich auf $ [mm] \pmat{ c(c-1) & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 &1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & c(2-5c) }* \pmat{v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3} \\ v_{4}}=\pmat{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0}$ [/mm]  

Ich erhalte dann [mm] v=\pmat{c(c-1) \\ 1 \\ 1 \\ c(2-5c)}=\pmat{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0} [/mm]

> Dann erhältst Du für Rang A < 4, parameterabhängige
> Lösungen

c=0: [mm] $v=\pmat{0 \\ 1 \\ 1 \\ 0}$ [/mm]

c=1: [mm] $v=\pmat{0 \\ 1 \\ 1 \\ -3}$ [/mm]


> Die Lösungen schreiben sich daher so:
>  
> [mm]v=a_{1}*w_{1}+ \ \dots \ + a_{n}*w_{n}[/mm]
>  
> mit beliebigem [mm]a_{k} \in \IR, \ w_{k} \in \IR^{4}, \ 1 \le k \le n[/mm]
>  
> Dann ist [mm]w_{1}, \ \dots \ ,w_{n}[/mm] eine Basis des Kerns.

Habe ich nicht verstanden!  

> Für Rang A = 4 gibt es logischerweise nur eine einzige
> Lösung.

Der Kern ist der Nullvektor?

>
> >  

> > Besten Dank für eure Hilfe!
>  >    
>
>
> Gruß
>  MathePower


Bezug
                        
Bezug
Rang, Kern: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:08 Fr 01.08.2008
Autor: MathePower

Hallo bigalow,

> > Hallo bigalow,
>  
> > Löse einfache das Gleichungssystem
>  >  
> > [mm]\pmat{c*\left(c-1\right) & 0 & 0 & c*(c-1) \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2c \\ c*\left(c-1\right) & 0 & 2c & c} * \pmat{v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3} \\ v_{4}} =\pmat{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
>  
> >  

> > in Abhängigkeit von c.
>  
> Okay dann komme ich auf [mm]\pmat{ c(c-1) & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 &1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & c(2-5c) }* \pmat{v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3} \\ v_{4}}=\pmat{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0}[/mm]

Schreibe das mal aus (ausgehend von der Matrix A):

[mm]c*\left(c-1\right)*v_{1}+0*v_{2}+0*v_{3}+c*c\left(c-1\right)*v_{4}=0[/mm]

[mm]0*v_{1}+1*v_{2}+0*v_{3}+0*v_{4}=0[/mm]

[mm]0*v_{1}+0*v_{2}+1*v_{3}+2*c*v_{4}=0[/mm]

[mm]c*\left(c-1\right)*v_{1}+0*v_{2}+2*c*v_{3}+c*v_{4}=0[/mm]

>  
>
> Ich erhalte dann [mm]v=\pmat{c(c-1) \\ 1 \\ 1 \\ c(2-5c)}=\pmat{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
>  
> > Dann erhältst Du für Rang A < 4, parameterabhängige
> > Lösungen
>  
> c=0: [mm]v=\pmat{0 \\ 1 \\ 1 \\ 0}[/mm]

Für c=0  ist dann folgendes Gleichungsystem zu lösen:

[mm]0*v_{1}+0*v_{2}+0*v_{3}+0*v_{4}=0[/mm]

[mm]0*v_{1}+1*v_{2}+0*v_{3}+0*v_{4}=0[/mm]

[mm]0*v_{1}+0*v_{2}+1*v_{3}+0*v_{4}=0[/mm]

[mm]0*v_{1}+0*v_{2}+0*v_{3}+0*v_{4}=0[/mm]

Lösungen sind dann:

[mm]v_{1}=r, \ v_{2}=0, \ v_{3}=0, \ v_{4}=s, \ r,s \in \IR[/mm]

Oder anders geschrieben:

[mm]v=\pmat{v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3} \\ v_{4}}=r*\pmat{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0}+s*\pmat{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1}, \ r,s \in \IR[/mm]

Da sich alle Lösungen dieses System so darstellen ist

[mm]\pmat{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0}, \ \pmat{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1}[/mm] eine Basis des Kerns von A für c=0.


>  
> c=1: [mm]v=\pmat{0 \\ 1 \\ 1 \\ -3}[/mm]
>  
>
> > Die Lösungen schreiben sich daher so:
>  >  
> > [mm]v=a_{1}*w_{1}+ \ \dots \ + a_{n}*w_{n}[/mm]
>  >  
> > mit beliebigem [mm]a_{k} \in \IR, \ w_{k} \in \IR^{4}, \ 1 \le k \le n[/mm]
>  
> >  

> > Dann ist [mm]w_{1}, \ \dots \ ,w_{n}[/mm] eine Basis des Kerns.
>  Habe ich nicht verstanden!  


Den Kern für c=1 zu berechnen ist jetzt dein Part.


>
> > Für Rang A = 4 gibt es logischerweise nur eine einzige
> > Lösung.
>  Der Kern ist der Nullvektor?


Ja. [ok]


>  >

> > >  

> > > Besten Dank für eure Hilfe!
>  >  >    
> >
> >
> > Gruß
>  >  MathePower
>  

Gruß
MathePower

Bezug
                                
Bezug
Rang, Kern: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:48 Fr 01.08.2008
Autor: bigalow

Danke!

für c=1:

ist [mm] v=t*\pmat{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0} [/mm] und damit [mm] \pmat{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0} [/mm] die einzige Basis.

Für c=2 ist der Kern der Nullvektor und dessen Basis ist {}.



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