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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:01 Fr 01.08.2008 | | Autor: | bigalow |
| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
$rg [mm] A_0 [/mm] =2$ lässt sich sofort ablesen.
Durch Umformen komme ich auf folgende Matrix [mm] A_c:
[/mm]
[mm] \pmat{ c(c-1) & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 &1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & c(2-5c) }
[/mm]
Also ist $rg [mm] A_1=3=rg A_\frac{2}{5}$. [/mm] Für alle anderen c ist der Rang 4.
Wie aber mache ich das mit der Basis für "die Kerne". Der Kern ist doch was auf die Null abgebildet wird... bei c=0 hat der Kern die Dimension 0 und bei c=1 die Dimension 1 und bei c=2 gibt es gar keinen Kern, da voller Rang.
Weiter komme ich nicht.
Besten Dank für eure Hilfe!
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo bigalow,
> [Dateianhang nicht öffentlich]
> [mm]rg A_0 =2[/mm] lässt sich sofort ablesen.
>
> Durch Umformen komme ich auf folgende Matrix [mm]A_c:[/mm]
>
> [mm]\pmat{ c(c-1) & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 &1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & c(2-5c) }[/mm]
>
> Also ist [mm]rg A_1=3=rg A_\frac{2}{5}[/mm]. Für alle anderen c ist
> der Rang 4.
>
> Wie aber mache ich das mit der Basis für "die Kerne". Der
> Kern ist doch was auf die Null abgebildet wird... bei c=0
> hat der Kern die Dimension 0 und bei c=1 die Dimension 1
> und bei c=2 gibt es gar keinen Kern, da voller Rang.
Sicher gibt es einen Kern für c=2.
> Weiter komme ich nicht.
Löse einfache das Gleichungssystem
[mm]\pmat{c*\left(c-1\right) & 0 & 0 & c*(c-1) \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2c \\ c*\left(c-1\right) & 0 & 2c & c} * \pmat{v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3} \\ v_{4}}
=\pmat{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
in Abhängigkeit von c.
Dann erhältst Du für Rang A < 4, parameterabhängige Lösungen
Die Lösungen schreiben sich daher so:
[mm]v=a_{1}*w_{1}+ \ \dots \ + a_{n}*w_{n}[/mm]
mit beliebigem [mm]a_{k} \in \IR, \ w_{k} \in \IR^{4}, \ 1 \le k \le n[/mm]
Dann ist [mm]w_{1}, \ \dots \ ,w_{n}[/mm] eine Basis des Kerns.
Für Rang A = 4 gibt es logischerweise nur eine einzige Lösung.
>
> Besten Dank für eure Hilfe!
>
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:37 Fr 01.08.2008 | | Autor: | bigalow |
> Hallo bigalow,
> Löse einfache das Gleichungssystem
>
> [mm]\pmat{c*\left(c-1\right) & 0 & 0 & c*(c-1) \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2c \\ c*\left(c-1\right) & 0 & 2c & c} * \pmat{v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3} \\ v_{4}}
=\pmat{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
>
> in Abhängigkeit von c.
Okay dann komme ich auf $ [mm] \pmat{ c(c-1) & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 &1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & c(2-5c) }* \pmat{v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3} \\ v_{4}}=\pmat{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0}$ [/mm]
Ich erhalte dann [mm] v=\pmat{c(c-1) \\ 1 \\ 1 \\ c(2-5c)}=\pmat{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
> Dann erhältst Du für Rang A < 4, parameterabhängige
> Lösungen
c=0: [mm] $v=\pmat{0 \\ 1 \\ 1 \\ 0}$
[/mm]
c=1: [mm] $v=\pmat{0 \\ 1 \\ 1 \\ -3}$
[/mm]
> Die Lösungen schreiben sich daher so:
>
> [mm]v=a_{1}*w_{1}+ \ \dots \ + a_{n}*w_{n}[/mm]
>
> mit beliebigem [mm]a_{k} \in \IR, \ w_{k} \in \IR^{4}, \ 1 \le k \le n[/mm]
>
> Dann ist [mm]w_{1}, \ \dots \ ,w_{n}[/mm] eine Basis des Kerns.
Habe ich nicht verstanden!
> Für Rang A = 4 gibt es logischerweise nur eine einzige
> Lösung.
Der Kern ist der Nullvektor?
>
> >
> > Besten Dank für eure Hilfe!
> >
>
>
> Gruß
> MathePower
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Hallo bigalow,
> > Hallo bigalow,
>
> > Löse einfache das Gleichungssystem
> >
> > [mm]\pmat{c*\left(c-1\right) & 0 & 0 & c*(c-1) \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2c \\ c*\left(c-1\right) & 0 & 2c & c} * \pmat{v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3} \\ v_{4}}
=\pmat{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
>
> >
> > in Abhängigkeit von c.
>
> Okay dann komme ich auf [mm]\pmat{ c(c-1) & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 &1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & c(2-5c) }* \pmat{v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3} \\ v_{4}}=\pmat{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
Schreibe das mal aus (ausgehend von der Matrix A):
[mm]c*\left(c-1\right)*v_{1}+0*v_{2}+0*v_{3}+c*c\left(c-1\right)*v_{4}=0[/mm]
[mm]0*v_{1}+1*v_{2}+0*v_{3}+0*v_{4}=0[/mm]
[mm]0*v_{1}+0*v_{2}+1*v_{3}+2*c*v_{4}=0[/mm]
[mm]c*\left(c-1\right)*v_{1}+0*v_{2}+2*c*v_{3}+c*v_{4}=0[/mm]
>
>
> Ich erhalte dann [mm]v=\pmat{c(c-1) \\ 1 \\ 1 \\ c(2-5c)}=\pmat{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
>
> > Dann erhältst Du für Rang A < 4, parameterabhängige
> > Lösungen
>
> c=0: [mm]v=\pmat{0 \\ 1 \\ 1 \\ 0}[/mm]
Für c=0 ist dann folgendes Gleichungsystem zu lösen:
[mm]0*v_{1}+0*v_{2}+0*v_{3}+0*v_{4}=0[/mm]
[mm]0*v_{1}+1*v_{2}+0*v_{3}+0*v_{4}=0[/mm]
[mm]0*v_{1}+0*v_{2}+1*v_{3}+0*v_{4}=0[/mm]
[mm]0*v_{1}+0*v_{2}+0*v_{3}+0*v_{4}=0[/mm]
Lösungen sind dann:
[mm]v_{1}=r, \ v_{2}=0, \ v_{3}=0, \ v_{4}=s, \ r,s \in \IR[/mm]
Oder anders geschrieben:
[mm]v=\pmat{v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3} \\ v_{4}}=r*\pmat{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0}+s*\pmat{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1}, \ r,s \in \IR[/mm]
Da sich alle Lösungen dieses System so darstellen ist
[mm]\pmat{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0}, \ \pmat{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1}[/mm] eine Basis des Kerns von A für c=0.
>
> c=1: [mm]v=\pmat{0 \\ 1 \\ 1 \\ -3}[/mm]
>
>
> > Die Lösungen schreiben sich daher so:
> >
> > [mm]v=a_{1}*w_{1}+ \ \dots \ + a_{n}*w_{n}[/mm]
> >
> > mit beliebigem [mm]a_{k} \in \IR, \ w_{k} \in \IR^{4}, \ 1 \le k \le n[/mm]
>
> >
> > Dann ist [mm]w_{1}, \ \dots \ ,w_{n}[/mm] eine Basis des Kerns.
> Habe ich nicht verstanden!
Den Kern für c=1 zu berechnen ist jetzt dein Part.
>
> > Für Rang A = 4 gibt es logischerweise nur eine einzige
> > Lösung.
> Der Kern ist der Nullvektor?
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> >
> > >
> > > Besten Dank für eure Hilfe!
> > >
> >
> >
> > Gruß
> > MathePower
>
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:48 Fr 01.08.2008 | | Autor: | bigalow |
Danke!
für c=1:
ist [mm] v=t*\pmat{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0} [/mm] und damit [mm] \pmat{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0} [/mm] die einzige Basis.
Für c=2 ist der Kern der Nullvektor und dessen Basis ist {}.
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