Rang, Bild und Kern < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Die lineare Abbildung [mm] f:\IR^5 \to \IR^2 [/mm] sei bezüglich der Standardbasis gegeben durch die Matrix
A= [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 5 & 4 & 3 & 2 & 1 }
[/mm]
Bestimmen Sie [mm] dim_\IR [/mm] Kern f |
Hallo zusammen,
wenn ich richtig liege, dann ist doch nachdem ich die Matrix auf Zeilenstufenform gebracht habe der Rang =2.
Wie berechne ich nun die dim Bild A, [mm] dim_k [/mm] V und die dim Kern A??
Kann mir jemand da helfen?
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Hallo Philipp,
Der Rang der Darstellungsmatrix A von f gibt doch genau die Dimension des Bildes von f an, also ist
$rg(A)=dim(Bild(f))=2$
Dann gibts doch noch die Dimensionsformel: $dim(V)=dim(Kern(f))+dim(Bild(f))$
Und $dim(V)$ und $dim(Bild(f))$ kennste doch, also ist $dim(Kern(f))=..$
Gruß
schachuzipus
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Da die Abbildung im [mm] \IR^5 [/mm] startet müsste doch [mm] dim_k [/mm] V =5 sein. Nach der Dimensionsformel wäre dann dim Kern A= [mm] dim_k [/mm] V - dim Bild A, also 5-2=3.
dim Kern A=3
Ist das so richtig?
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Hi,
> Da die Abbildung im [mm]\IR^5[/mm] startet müsste doch [mm]dim_k[/mm] V =5
> sein. Nach der Dimensionsformel wäre dann dim Kern A= [mm]dim_k[/mm]
> V - dim Bild A, also 5-2=3.
>
> dim Kern A=3 ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
>
> Ist das so richtig?
Ganz genau,
mache dir klar, dass die Spalten der Abbildungsmatrix das Bild(f) aufspannen, es ist also [mm] Bild(f)\subset\IR^2, [/mm] also dim(Bild(f)) auf jeden Fall [mm] \le [/mm] 2
Der Rang (=Zeilenrang = Spaltenrang) gibt ja die Anzahl der linear unabh. Spalten an, also die Dimension des Raumes, der von den Spalten aufgespannt wird) HIer ist das 2
Mit der Dimensionsformel kannst du dann direkt auf die dim(Kern(f)) schließen.
Bedenke [mm] Kern(f)\subset\IR^5
[/mm]
LG
schachuzipus
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