Rang,Basis,darstell.Matrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:11 Mi 01.12.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Sei [mm] A=\pmat{ 1 & 2 & 1 & 2 \\ 0 & -1 & 0 & 3 \\ -1 & 1 & 3 & 2 } \in \IR^{3 \times 4}.
[/mm]
a) Man bestimme den Rang und eine Basis des Zeilenraums von A.
b) Seien B=((1,0,1,0),(0,1,0,1),(1,0,0,1),(1,2,3,4)) und C=((1,0,1),(2,1,0),(-1,0,1)).Man beweise,dass B eine Basis des [mm] \IR^{4} [/mm] und C eine Basis des [mm] \IR^{3} [/mm] ist.
c) Man berechne die darstellende Matrix fon [mm] f_{A} [/mm] bezüglich der Basen B und C. |
Hallo^^
Ich habe diese Aufgabe,hatte aber an einigen Stellen Probleme.
a) Also den Rang des Zeilenraums hab ich berechnet,der ist 3.Kann ich nicht als Basis des Zeilenraums einfach die Stanardbasis [mm] \{(\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0}),(\vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0}),(\vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0}),(\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1})\} [/mm] nehmen oder muss die auch aus drei Vektoren bestehen,weil der Rang 3 ist?
b) Ich hab schonmal bewiesen,dass B und C jeweils linear unabhängig sind.Für eine Basis muss aber noch gelten: [mm] Lin_{K}(B)=\IR^{4} [/mm] und [mm] Link_{K}(C)=\IR^{3} [/mm] ist, das müsste ich noch beweisen,aber das finde ich schwer,weil ich nicht weiß wie ich zeigen soll,dass etwas =der komplette [mm] \IR^{4} [/mm] bzw. [mm] \IR^{3} [/mm] ist.
Könnt ihr mir einen Tipp geben,wie ich das zeigen kann?
c) Was mich hier etwas verwirrt,ist dass hier auf einmal von einem f die Rede ist,das kommt so aus dem nichts.Aber gut,ich kann doch die Abbildung f schreiben als
[mm] f(b_{j}):=a_{1j}*c_{1}+a_{2j}*c_{2}+a_{3j}*c_{3}, [/mm] (j=1,...,n),(b [mm] \in [/mm] B),(c [mm] \in [/mm] C).
Berechne ich jetzt z.B. das Bild von [mm] b_{1},dann [/mm] habe ich
[mm] f(\vektor{1 \\ 0 \\ 1 \\ 0}):=a_{11}*c_{1}+a_{21}*c_{2}+a_{31}*c_{3}=1*(1,0,1)+0*(2,1,0)+-1*(-1,0,1)=(2,0,0)=\vektor{2 \\ 0 \\ 0}.
[/mm]
Und so würde ich das auch mit den restlichen 3 Vektoren machen.
So,wenn ich dann die Bilder der Elemente von B als Spalten einer Matrix aufschreibe,ist das dann die darstellende Matrix?
Vielen Dank
lg
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:18 Mi 01.12.2010 | | Autor: | Mousegg |
Hey,
also zu b) würde ich sagen ,dass aus der Invarianz der Basislänge bereits folgt dass 3 linear unanhängige im [mm] R^3 [/mm] und 4 im [mm] R^4 [/mm] immer eine Basis bilden.
zu c)
Wenn man die Bilder der Basisvektoren unter f hat muss man zusätzlich noch gucken wie die Bilder durch die Basis C ausgedrückt werden können also die Koordinatenspalten unter C zu den Bildern bestimmen. Die Koordinatenspalten sind dann die Spalten der darstellenden Matrix.
Aber da hier dasselbe rauskommt wie bei dir dürfte das wohl stimmen.
Mir wäre aber lieb wenn das jemand bestätigt der Wirklich ahnung hat ...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:45 Fr 03.12.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hey,
>
> also zu b) würde ich sagen ,dass aus der Invarianz der
> Basislänge bereits folgt dass 3 linear unanhängige im [mm]R^3[/mm]
> und 4 im [mm]R^4[/mm] immer eine Basis bilden.
Wie genau meinst du das?Ich kann das noch nicht nachvollziehen.Also der Satz über die Invarianz der Basislänge besagt doch:
"Seien V ein K-Vektorraum, m,n [mm] \in \IN, v_{1},...,v_{n} [/mm] linear unabhängige Vektoren, [mm] \{w_{1},...,w_{m}\} [/mm] Erzeugendensystem von V.
Dann gilt n [mm] \le [/mm] m.Insbesondere, zwei Basen von V haben die gleiche Länge."
So,jetzt haben wir z.B. 3 lin.unab. Vektoren im [mm] \IR^{3}.Dann [/mm] ist bei uns n=3,so und wie genau folgerst du jetzt,dass die 3 lin.unab. Vektoren schon eine Basis bilden und man nicht noch zeigen muss,dass sie Erzeugendensystem sind ?
> zu c)
> Wenn man die Bilder der Basisvektoren unter f hat muss man
> zusätzlich noch gucken wie die Bilder durch die Basis C
> ausgedrückt werden können also die Koordinatenspalten
> unter C zu den Bildern bestimmen. Die Koordinatenspalten
> sind dann die Spalten der darstellenden Matrix.
> Aber da hier dasselbe rauskommt wie bei dir dürfte das
> wohl stimmen.
Also die c) hab ich nochmal gemacht,das was ich zuerst geschrieben erscheint mir jetzt unlogisch.
Was ich nicht verstehe,ist, wieso du hier die Bilder der Basisvektoren berechnen willst, man soll doch die darstellende Matrix bezuglich der Basen B und C berechnen und nicht bezüglich der Standardbasis und C.
Oder verstehe ich hier etwas falsch?
Und zur a) nochmal:
Darf ich hier als Basis des Zeilenraums einfach die Standardbasis [mm] \{(\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0}),(\vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0}),(\vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0}),(\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1})\} [/mm] nehmen?
Ich denke schon,dass ich die nehmen darf,denn in der Aufgabe steht ja nur,dass man eine Basis des Zeilenraums bestimmen soll und das ist eine.
Aber dann wäre doch die Aufgabe zu einfach,deswegen bin ich mir etwas unsicher.
Vielen Dank
lg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:08 Fr 03.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. dein Zeilenraum hat wie du sagst 3 lin. unabh. Vektoren. d.h. er ist 3d.
in einem 3d Raum kann man jede Kombination von 3 liin unabh. vektoren als Basis nehmen, denn man kann ja lle anderen in dem Raum liegenden Vektoren daraus durch lin. Kombination darstellen.
deshalb sind deine 4 lin unabh. vektoren des [mm] R^4 [/mm] sicher nicht Basis des 3d Zeilenraums.
im 3d Spaltenraum dagegen hast du 3 lin unabh. Vektoren gefunden, also können die auch Basis sein. In einem Erzeugendensystem können mehr als 3 Vektoren sein, wie hier deine 4 Spaltenvektoren.
Lies noch mal nach wie die Dimension eines VR bestimmt ist, und was eine Basis ist.
Der zeilenraum ist ein Unterraum des [mm] R^4 [/mm] nicht der [mm] R^4 [/mm] selbst. deshalb ist deine Basis falsch,
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:58 Sa 04.12.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hallo
> 1. dein Zeilenraum hat wie du sagst 3 lin. unabh.
> Vektoren. d.h. er ist 3d.
> in einem 3d Raum kann man jede Kombination von 3 liin
> unabh. vektoren als Basis nehmen, denn man kann ja lle
> anderen in dem Raum liegenden Vektoren daraus durch lin.
> Kombination darstellen.
Also das muss ich zuerst nachprüfen,bevor ich das einfach so glaube =).Ich hab versucht mir das anhand eines Beispiels klar zu machen und habe festgestellt,dass das irgendwie nicht so ist.
Also ich nehme z.B. die Menge der drei Vektoren [mm] \{(\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 1}),(\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1}),(\vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ 0}),\}.
[/mm]
Diese drei Vektoren sind linear unabhängig,das habe ich nachgerechnet und diese angebliche Basis ist 3d.
So,dann hab ich versucht die 3 Vektoren des Zeilenraums durch diese Basis darzustellen,das hat aber schon beim ersten nicht geklappt,denn es ergibt sich ein Widerspruch 1=2.
Also verstehe ich nicht wie du das meinst,dass man in einem 3d Raum jede Kombination von 3 linear unabhängigen Vektoren als Basis nehmen kann?
Hab ich dich falsch verstanden?
lg
|
|
|
| |
|
Hallo,
für meinen Geschmack reden wir hier zu sehr im luftleeren Raum.
Vielleicht zeigst Du uns erstmal, wie Du gesehen hast, daß die Dimension des Zeilenraumes =3 ist.
Erst dann suchen wir eine Basis.
leduart meinte dies: wenn Du weißt, daß ein Raum die Dimension 3 hat, und wenn Du irgendwelche 3 linear unabhängige Vektoren dieses Raumes in den Händen hältst, dann kannst Du Dir sicher sein, daß sie eine Basis sind.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:45 Sa 04.12.2010 | | Autor: | freaky_91 |
> Sei [mm]A=\pmat{ 1 & 2 & 1 & 2 \\ 0 & -1 & 0 & 3 \\ -1 & 1 & 3 & 2 } \in \IR^{3 \times 4}.[/mm]
>
> a) Man bestimme den Rang und eine Basis des Zeilenraums von
> A.
> kann mir vielleicht jemand erklären wie ich eine basis einer matrix bestimmen kann?
> b) Seien B=((1,0,1,0),(0,1,0,1),(1,0,0,1),(1,2,3,4)) und
> C=((1,0,1),(2,1,0),(-1,0,1)).Man beweise,dass B eine Basis
> des [mm]\IR^{4}[/mm] und C eine Basis des [mm]\IR^{3}[/mm] ist.
>
> c) Man berechne die darstellende Matrix fon [mm]f_{A}[/mm]
> bezüglich der Basen B und C.
> Hallo^^
>
> Ich habe diese Aufgabe,hatte aber an einigen Stellen
> Probleme.
>
> a) Also den Rang des Zeilenraums hab ich berechnet,der ist
> 3.Kann ich nicht als Basis des Zeilenraums einfach die
> Stanardbasis [mm]\{(\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0}),(\vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0}),(\vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0}),(\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1})\}[/mm]
> nehmen oder muss die auch aus drei Vektoren bestehen,weil
> der Rang 3 ist?
>
> b) Ich hab schonmal bewiesen,dass B und C jeweils linear
> unabhängig sind.Für eine Basis muss aber noch gelten:
> [mm]Lin_{K}(B)=\IR^{4}[/mm] und [mm]Link_{K}(C)=\IR^{3}[/mm] ist, das müsste
> ich noch beweisen,aber das finde ich schwer,weil ich nicht
> weiß wie ich zeigen soll,dass etwas =der komplette [mm]\IR^{4}[/mm]
> bzw. [mm]\IR^{3}[/mm] ist.
> Könnt ihr mir einen Tipp geben,wie ich das zeigen kann?
>
> c) Was mich hier etwas verwirrt,ist dass hier auf einmal
> von einem f die Rede ist,das kommt so aus dem nichts.Aber
> gut,ich kann doch die Abbildung f schreiben als
> [mm]f(b_{j}):=a_{1j}*c_{1}+a_{2j}*c_{2}+a_{3j}*c_{3},[/mm]
> (j=1,...,n),(b [mm]\in[/mm] B),(c [mm]\in[/mm] C).
>
> Berechne ich jetzt z.B. das Bild von [mm]b_{1},dann[/mm] habe ich
> [mm]f(\vektor{1 \\ 0 \\ 1 \\ 0}):=a_{11}*c_{1}+a_{21}*c_{2}+a_{31}*c_{3}=1*(1,0,1)+0*(2,1,0)+-1*(-1,0,1)=(2,0,0)=\vektor{2 \\ 0 \\ 0}.[/mm]
>
> Und so würde ich das auch mit den restlichen 3 Vektoren
> machen.
> So,wenn ich dann die Bilder der Elemente von B als Spalten
> einer Matrix aufschreibe,ist das dann die darstellende
> Matrix?
>
> Vielen Dank
> lg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:55 Sa 04.12.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo,
was ist denn deine Frage?
lg
|
|
|
| |
|
Meine Frage ist, dass ich nicht genau weiß, wie ich Basen betimmen kann und ich wollte wissen, ob mir das jemand kurz erklären kann?> Hallo,
|
|
|
| |
|
> Meine Frage ist, dass ich nicht genau weiß, wie ich Basen
> betimmen kann und ich wollte wissen, ob mir das jemand kurz
> erklären kann?
Hallo,
bring dafür zunächst die Matrix auf Zeilenstufenform, dann kann Dir jemand zeigen, wie man eine Basis des Spalten- und Zeilenraumes sehen kann.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
die obige Matrix in Zeilenstufenform sieht so aus:
1 2 1 2
0 3 4 4
0 0 4 13
wie kann ich jetzt eine Basis dazu finden?
|
|
|
| |
|
> die obige Matrix in Zeilenstufenform sieht so aus:
>
> 1 2 1 2
> 0 3 4 4
> 0 0 4 13
>
>
> wie kann ich jetzt eine Basis dazu finden?
Hallo,
wir suchen keine "Basis dazu".
Und weil wir keine "Basis dazu" suchen, solltest Du sowas auch nicht schreiben. Du willst Dich doch nicht noch selbst durch eine unpräzise Sprechweise verwirren, oder?
Lt. Aufgabe ist gesucht eine Basis des Zeilenraumes von A.
Der Zeilenstufenform kannst Du entnehmen, daß der Zeilenraum die Dimension 3 hat, und noch schöner:
die drei Zeilen sind gleich eine Basis des Zeilenraumes von A.
Gefragt war es hier nicht, aber oftmals will man eine Basis des Spaltenraumes wissen, also eine Basis des Bildes von A.
Diese bekommt man so:
die führenden Zeilenelemente (rot markiert) sind in der 1., 2., 3. Spalte. Also sind die Vektoren in der 1., 2. und 3. Spalte der Ausgangsmatrix A eine Basis des Spaltenraumes.
Oder: Du bringst [mm] A^T [/mm] auf Zeilenstufenform und liest wie oben beim Spaltenraum eine Basis direkt ab. Weil's um Spalten geht, mußt Du dann die abgelesenen Zeilen freilich transponieren.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
