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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:39 Fr 03.01.2014 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | Gegeben sei die Dirichlet-Randwertaufgabe für die Poisson-Gleichung
(1) [mm] $-\Delta [/mm] u=f$ in [mm] $\Omega:=B_R(0):=\left\{x\in\mathbb{R}^3: \lVert x\rVert < R\right\}$
[/mm]
(2) $u=0$ auf [mm] $S_R(0):=\left\{x\in\mathbb{R}^3: \lVert x\rVert=R\right\}$
[/mm]
mit [mm] $f\in L^{\infty}(\Omega)\cap C^{0,\lambda}(\Omega)$ [/mm] und [mm] $0<\lambda<1$.
[/mm]
(a) Geben Sie die Lösung [mm] $u\in C^{2,\lambda}(\Omega)\cap C(\overline{\Omega})$ [/mm] der Aufgabe (1), (2) mit Hilfe der Green'schen Funktion an.
(b) Geben Sie $u(0)$ für den Fall [mm] $f(x)=f(\lVert x\rVert)$ [/mm] an.
(c) Bringen Sie $u(x)$ für [mm] $\lVert x\rVert [/mm] > 0$ in eine Form, die sich mit dem Volumenpotenzial schreiben lässt. |
Hallo und Euch allen ein frohes, gesundes und erfolgreiches neues Jahr!
Zu den beiden ersten Teilaufgaben (a) und (b) habe ich Ideen.
[mm] \textbf{Zu (a)} [/mm] habe ich einen Satz aus unserer Vorlesung benutzt; dieser besagt, dass die Lösung gegeben ist durch
[mm] $u(x)=\int_{\Omega}G(x,y)f(y)\, [/mm] dy$,
wobei $G$ hier die Green'sche Funktion der Kugel bezeichne.
Daraus erhalte ich
[mm] $u(x)=\frac{1}{4\pi}\left(\int_{\Omega}\frac{f(y)}{\lVert x-y\rVert}\, dy-\int_{\Omega}\frac{f(y)}{\left\lVert\frac{\lVert y\rVert}{R}x-\frac{R}{\lVert y\rVert}y\right\rVert}\, dy\right)$.
[/mm]
[mm] \textbf{Zu (b)} [/mm] habe ich Kugelkoordinaten benützt. Ich erhalte
[mm] $u(0)=\int_0^R [/mm] f(r) [mm] r\, dr-\frac{1}{R}\int_0^R [/mm] f(r) [mm] r^2\, [/mm] dr$.
[mm] \textbf{Zu (c)} [/mm] habe ich bislang keine wirkliche Idee gehabt; wir haben das Volumenpotenzial wie folgt definiert:
Sei [mm] $E_n$ [/mm] die Grundlösung der Laplace-Gleichung in [mm] $\mathbb{R}^n$, [/mm] also
[mm] $\forall~x\in\mathbb{R}^n\setminus\left\{0\right\}: E_n(x):=\begin{cases}\frac{1}{2\pi}\ln(\frac{1}{\lVert x\rVert}), & n=2\\\frac{1}{(n-2)\sigma_n}\frac{1}{\lVert x\rVert^{n-2}}, & n>2\end{cases}$.
[/mm]
Sei [mm] $\Omega\subset\mathbb{R}^n$ [/mm] ein beschränktes Gebiet und sei [mm] $f\in L^{\infty}(\Omega)$. [/mm] Dann heißt die Funktion
[mm] $U_n(x):=\int_{\Omega}E_n(x-y)f(y)\, [/mm] dy$ für [mm] $x\in\mathbb{R}^n$
[/mm]
Volumenpotential mit Dichte $f$.
Damit erhalte ich für die Darstellung der Lösung aus Aufgabenteil (a), dass
[mm] $u(x)=U_3(x)-\frac{1}{4\pi}\int_{\Omega}\frac{f(y)}{\left\lVert\frac{\lVert y\rVert}{R}x-\frac{R}{\lVert y\rVert}y\right\rVert}\, dy\right$.
[/mm]
Kann ich das hier noch auftretende Integral auch irgendwie mittels [mm] $U_3$ [/mm] ausdrücken?
Ist Aufgabenteil (c) so gemeint oder gar ganz anders?
Viele Grüße!
Mike
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 So 05.01.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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