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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:27 Mo 13.03.2006 | | Autor: | ivo82 |
| Aufgabe | Zeige dass gilt:
[mm] \integral_{0}^{1}{p^{t}*(1-p)^{k-t} dp} [/mm] = (t! * (k-t)!) / (k+1)! |
Das Beispiel ist eigentlich länger werde es jetzt noch einmal kurz zusammenfassen: [mm] X_{i}|P [/mm] ist i.i.d. Bernoulli verteilt mit Parameter P, wobei P die Realisation einer zw. 0 und 1 gleichverteilten Zufallsvariable ist. Zu zeigen ist dann, dass für jede Zahl k die Randverteilung also [mm] P(X_{1}=x_{1},...,X_{k}=x_{k}) [/mm] gleich dem Integral bzw. dem Bruch mit den Fakultäten ist.
t ist dabei gegeben als [mm] \summe_{i=1}^{k}x_{i}, [/mm] sprich t ist die Anzahl jener X die den Wert 1 annehmen und liegt zwischen 0 und k. Außerdem steht da noch der ominöse Satz: Die X sind also austauschbar.
Recht weit bin ich selber nicht gekommen, ich meine mir ist klar, dass wegen der Gleichverteilung von P die gemeinsame Dichte der k verschiedenen X und P gleich dem Produkt der einzelnen bedingten Dichten ist und nach P zwischen 0 und 1 integriert werden muss um auf die Randverteilung zu kommen, der Ausdruck im Integral leuchtet mir auch ein, aber wie komme ich auf die Fakultäten?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hoffentlich kann mir wer helfen, vielen Dank jedenfalls im Voraus!
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Hallo ivo,
Kennst du die Betafunktion? Für dieses Integral brauchst du sie nämlich.
Definiert ist
[mm]B(a,b)=\int_0^1 x^{a-1} (1-x)^{b-1} dx[/mm]
Dieses Integral ist für alle [mm]a,b \in \IR^+[/mm] konvergent.
Außerdem brauchst du die Umformung
[mm]B(a,b)=\bruch{\Gamma(a)*\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}[/mm]
und noch eine:
[mm]\Gamma(a)=(a-1)![/mm] für [mm]a\in \IN[/mm].
Kommst du damit weiter?
mfg
Daniel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:03 Mo 13.03.2006 | | Autor: | ivo82 |
Danke!
Das erklärt Einiges, hätte eigentlich selbst draufkommen müssen, aber konnte mir diese blöde Betaverteilung noch nie merken!
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