Randpunkte Konvergenzradius < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:15 Fr 01.05.2015 | | Autor: | ms2008de |
| Aufgabe | | Bestimme den Konvergenzradius der Potenzreihe [mm] \summe_{n=0}^{\infty}(\bruch{3n^{2}}{2n^{2}+1})^{n}*t^{n} [/mm] |
Hallo,
also den Konvergenzradius hab ich mit Hilfe des Wurzelkriteriums bestimmt. Dieser lautet r= [mm] \bruch{2}{3}.
[/mm]
Nun wollte ich die Randpunkte betrachten, also: [mm] \summe_{n=0}^{\infty}(\bruch{3n^{2}}{2n^{2}+1})^{n}*(\bruch{2}{3})^{n} [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty}(\bruch{6n^{2}}{6n^{2}+3})^{n}. [/mm]
Nun dachte ich mir: da [mm] \bruch{6n^{2}}{6n^{2}+3} [/mm] < 1 [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] gilt und die geometrische Reihe [mm] \summe_{n=0}^{\infty}q^{n} [/mm] für |q| <1 konvergiert, konvergiert diese Reihe auch am Randpunkt des Konvergenzradius (analog war mein Gedankengang auch für den Randpunkt - [mm] \bruch{2}{3}). [/mm] Doch im Gegensatz zur geometrischen Reihe, wo q eine konstante Zahl annimmt, ist [mm] \bruch{6n^{2}}{6n^{2}+3} [/mm] aufgrund des Laufindex über n ja veränderlich, daher bin ich mir sehr unsicher, ob man das so einfach folgern kann.
Wär für jede Hilfe dankbar.
Viele Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:34 Fr 01.05.2015 | | Autor: | fred97 |
> Bestimme den Konvergenzradius der Potenzreihe
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}(\bruch{3n^{2}}{2n^{2}+1})^{n}*t^{n}[/mm]
> Hallo,
>
> also den Konvergenzradius hab ich mit Hilfe des
> Wurzelkriteriums bestimmt. Dieser lautet r= [mm]\bruch{2}{3}.[/mm]
> Nun wollte ich die Randpunkte betrachten, also:
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}(\bruch{3n^{2}}{2n^{2}+1})^{n}*(\bruch{2}{3})^{n}[/mm]
> = [mm]\summe_{n=0}^{\infty}(\bruch{6n^{2}}{6n^{2}+3})^{n}.[/mm]
> Nun dachte ich mir: da [mm]\bruch{6n^{2}}{6n^{2}+3}[/mm] < 1 [mm]\forall[/mm]
> n [mm]\in \IN[/mm] gilt und die geometrische Reihe
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}q^{n}[/mm] für |q| <1 konvergiert,
> konvergiert diese Reihe auch am Randpunkt des
> Konvergenzradius (analog war mein Gedankengang auch für
> den Randpunkt - [mm]\bruch{2}{3}).[/mm] Doch im Gegensatz zur
> geometrischen Reihe, wo q eine konstante Zahl annimmt, ist
> [mm]\bruch{6n^{2}}{6n^{2}+3}[/mm] aufgrund des Laufindex über n ja
> veränderlich, daher bin ich mir sehr unsicher, ob man das
> so einfach folgern kann.
Du hast es erkannt: so kannst Du das nicht machen.
Zeige: [mm] ((\bruch{6n^{2}}{6n^{2}+3})^{n}) [/mm] ist keine Nullfolge. Dazu nimm an, es wäre eine Nullfolge. Dann:
[mm] (\bruch{6n^{2}}{6n^{2}+3})^{n} \le [/mm] 1/2 für fast alle n.
Jetzt Du...
FRED
>
> Wär für jede Hilfe dankbar.
>
> Viele Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:56 Fr 01.05.2015 | | Autor: | ms2008de |
Hallo nochmal,
> Zeige: [mm]((\bruch{6n^{2}}{6n^{2}+3})^{n})[/mm] ist keine
> Nullfolge. Dazu nimm an, es wäre eine Nullfolge. Dann:
>
>
> [mm](\bruch{6n^{2}}{6n^{2}+3})^{n} \le[/mm] 1/2 für fast alle n.
>
> Jetzt Du...
>
Ich habs mal versucht:
Annahme: Die Folge [mm] (a_n)_{n \in \IN} =((\bruch{6n^{2}}{6n^{2}+3})^{n})_{n \in \IN} [/mm] ist eine Nullfolge.
Dann gibt es zu [mm] \varepsilon [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] ein [mm] n_{\varepsilon} [/mm] , sodass [mm] |a_n| [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm]
[mm] \forall [/mm] n [mm] \ge n_{\varepsilon}.
[/mm]
Da aber [mm] \varepsilon [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] > [mm] |(\bruch{6n^{2}}{6n^{2}+3})^{n}| [/mm] = [mm] (\bruch{2n^{2}}{2n^{2}+1})^{n} [/mm] = (1 - [mm] \bruch{1}{2n^{2}+1})^{n} \ge [/mm] (wg. Bernoullischer Ungleichung) 1 - [mm] \bruch{n}{2n^{2}+1} \ge [/mm] 1 - [mm] \bruch{n}{2n^{2}} [/mm] = 1 - [mm] \bruch{1}{2n} \ge \bruch{1}{2} [/mm] folgt ein Widerspruch zur Annahme.
Also divergiert die Reihe für den Randpunkt [mm] \bruch{2}{3}. [/mm] Analog für den Randpunkt [mm] \bruch{-2}{3}.
[/mm]
Ist das soweit richtig?
Viele Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:31 Fr 01.05.2015 | | Autor: | DieAcht |
Hallo ms2008de!
> Ist das soweit richtig?
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Übrigens ist
[mm] $\left(\bruch{6n^{2}}{6n^{2}+3}\right)^{n}\to [/mm] 1$ für [mm] $n\to\infty$.
[/mm]
Gruß
DieAcht
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:34 Fr 01.05.2015 | | Autor: | ms2008de |
> Übrigens ist
>
> [mm]\left(\bruch{6n^{2}}{6n^{2}+3}\right)^{n}\to 1[/mm] für
> [mm]n\to\infty[/mm].
>
Thx, das ist mir klar.
Viele Grüße
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