Randdichten, Unabhängigkeit < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:51 Mi 18.11.2009 | | Autor: | Peon |
| Aufgabe | Die Zufallsvariablen [mm] X_{1} [/mm] und [mm] X_{2} [/mm] seien absolut-stetig verteilt mit gemeinsamer Dichte [mm] f(x_{1},x_{2})=\begin{cases} \bruch{1+x_{1}x_{2}}{4}, & \mbox{für } |x_{1}|,|x_{2}| \le 1 \mbox{ gerade} \\ 0, & \mbox{sonst. } \end{cases}.
[/mm]
a) Bestimmen Sie die Randdichten [mm] f_{1} [/mm] und [mm] f_{2}
[/mm]
b) Sind [mm] X_{1} [/mm] und [mm] X_{2} [/mm] unabhängig?
c) Sind [mm] X^{2}_{1} [/mm] und [mm] X^{2}_{2} [/mm] unabhängig. |
Ich schreibe mal, was ich mir dazu überlegt habe:
zu a) [mm] f_{1}=\integral_{-1}^{1}{\bruch{1+x_{1}x_{2}}{4} dx} [/mm] weil die Fkt. ja nur in diesem Bereich definiert ist. Daraus ergibt sich:
[mm] f_{1}=\integral_{-1}^{1}{\bruch{1+x_{1}x_{2}}{4} dx_{2}}=[\bruch{x_{2}+\bruch{1}{2}x_{1}x^{2}_{2}}{4}]^{1}_{-1}=\bruch{1}{2} [/mm] und
[mm] f_{2}=\integral_{-1}^{1}{\bruch{1+x_{1}x_{2}}{4} dx_{1}}=...=\bruch{1}{2}
[/mm]
damit wären die zwei Randdichten bestimmt.
Ist das so korrekt?
zu b) [mm] \produkt_{i=1}^{2}f_{i}/x_{i}=f_{1}f_{2}=\bruch{1}{4}
[/mm]
Allerdings nimmt die Funktion [mm] f(x_{1},x_{2}) [/mm] nur für [mm] x_{1}=x_{2}=0 [/mm] den Wert [mm] \bruch{1}{4} [/mm] an, somit sind [mm] X_{1} [/mm] und [mm] X_{2} [/mm] nicht unabhängig.
zu c) [mm] \produkt_{i=1}^{2}(f_{i}/x_{i})^{2}=(f_{1}^{2})(f_{2})^{2}=\bruch{1}{16}
[/mm]
Aber was soll ich jetzt dazu sagen, kann die Fkt. überhapt 1/16 werden?
Sind meine Ansätze soweit korrekt?
Danke
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Hallo
Ich rechne gerade alte Übungen und sitze an derselben Aufgabe ))
Ich weiß allerdings nicht, wie ich die gemeinsame Dichte von [mm] X_{1}^2 [/mm] und [mm] X_{2}^2 [/mm] bestimmen kann!?
Bei den Randdichten habe ich folgendes:
[mm] f_{Y}(y)=f_{Z}(z)=\left\{\begin{matrix}
\bruch{1}{2\wurzel{z}}, & \mbox{0}\le z\le\mbox{1} \\
0, & \mbox{sonst}
\end{matrix}\right.
[/mm]
Dabei ist [mm] Y=X_{1}^2 [/mm] und [mm] Z=X_{2}^2
[/mm]
Auf die gemeinsame Dichte kommt man durch
[mm] f_{Z}(z)=\integral_{-\infty}^{\infty}\integral_{-\infty}^{\infty}{f_{YZ}(y,z) dy dz}
[/mm]
und da [mm] 0\le [/mm] z [mm] \le [/mm] 1 und [mm] 0\le [/mm] y [mm] \le [/mm] 1, ergibt sich folgende Gleichung:
[mm] \bruch{1}{2\wurzel{z}}=\integral_{0}^{1}\integral_{0}^{1}{f_{YZ}(y,z) dy dz}
[/mm]
aber wie komme ich weiter?? Muss ich die linke Seite über z und dann y differenzieren??
oder ist der Ansatz vollkommen falsch??
Danke schon mal!!
LG Wi
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Habe einen anderen Ansatz gefunden (Transformationssatz)! Und danach sind [mm] X_{1}^2 [/mm] und [mm] X_{2}^2 [/mm] NICHT unabhängig (genauso wie [mm] X_{1} [/mm] und [mm] X_{2})!!
[/mm]
Kann das stimmen? oder kann ich hier den Transformationssatz nicht anwenden?
LG Wi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:20 Do 05.06.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:20 Mi 04.06.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:46 Do 19.11.2009 | | Autor: | Peon |
Das "gerade" war noch ein Überbleibstel vom Formeleditor :)
Achso, muss das heißen [mm] f_{1}(x_{1}) [/mm] (nach Def.), also [mm] f_{1}(x_{1}=\bruch{1}{2}x__{1}? [/mm] Aber irgendwie kürzen sich die x bei der Berechnung ja alle weg?!
Bei der gemeinsamen VF haben wir als Definition stehen:
[mm] F(x_{1},...,x_{n}) [/mm] := [mm] P(X_{1}\le x_{1},...,X_{n}\le x_{n}), [/mm] also [mm] F(x_{1},x_{2})=P(X_{1}\le x_{1}, X_{2}\le x_{2}) [/mm] aber wie berechne ich das konkret? Kannst du mir da einen Tipp geben?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:03 Do 19.11.2009 | | Autor: | luis52 |
> Das "gerade" war noch ein Überbleibstel vom Formeleditor
> :)
>
> Achso, muss das heißen [mm]f_{1}(x_{1})[/mm] (nach Def.), also [mm]f_{1}(x_{1}=\bruch{1}{2}x__{1}?[/mm]
![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]") Was heisst das?
> Aber irgendwie kürzen sich
> die x bei der Berechnung ja alle weg?!
Es heist genauer: [mm] $f_1(x)=f_2(x)=1/2$ [/mm] fuer [mm] $|x|\le1$ [/mm] und
[mm] $f_1(x)=f_2(x)=0$ [/mm] fuer [mm] $|x|\not\le1$. [/mm] Also ist [mm] $f_1(4711)=0$.
[/mm]
>
>
> Bei der gemeinsamen VF haben wir als Definition stehen:
> [mm]F(x_{1},...,x_{n})[/mm] := [mm]P(X_{1}\le x_{1},...,X_{n}\le x_{n}),[/mm]
> also [mm]F(x_{1},x_{2})=P(X_{1}\le x_{1}, X_{2}\le x_{2})[/mm] aber
> wie berechne ich das konkret? Kannst du mir da einen Tipp
> geben?
[mm] $P(X_1\le x_1,X_2\le x_2)=\int_{-\infty}^{x_1}\int_{-\infty}^{x_2}f(t_1,t_2)\,dt_1\,dt_2$ [/mm] ...
Mach dir eine Skizze ...
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:05 Fr 20.11.2009 | | Autor: | Peon |
zu a) ich habe das ein bisschen durcheinander geworfen glaube ich, also [mm] f_{1}(x_{1})=\bruch{1}{2}=f_{2}(x_{2})
[/mm]
zu b) Wir sollen da ein Gegenbeispiel finden und damit zeigen, dass sie nicht unabhängig sind; als Tipp dazu haben wir bekommen, dass wir mit der Verteilungsfunktion arbeiten sollen und eine geeignete Menge { [mm] X_{1}\le k_{1} [/mm] }, { [mm] X_{2}\le k_{2} [/mm] }, aber das hift mir hier irgendwie nicht weiter.
zu c) da komme ich jetzt nicht weiter:
[mm] P(X_{1}\le x_{1}, X_{2}\le x_{2}) [/mm] = [mm] \integral_{-\infty}^{x_{1}}\integral_{-\infty}^{x_{2}}{f(t_{1}, t_{2}) dt_{1}dt_{2}} [/mm] = [mm] \integral_{-\infty}^{x_{1}}\integral_{-\infty}^{x_{2}}{\bruch{1+t^{2}_{1}t^{2}_{2}}{4} dt_{1}dt_{2}} [/mm] = [mm] \integral_{-\infty}^{x_{1}}{[\bruch{t_{1}+\bruch{1}{3}t^{3}_{1}t^{2}_{2}}{4}]}^{x_{2}}_{-\infty}dt_{2} [/mm] = [mm] \integral_{-\infty}^{x_{1}}{(\bruch{x_{2}+\bruch{1}{3}x^{3}_{2}t^{2}_{2}}{4}})-{(\bruch{{-\infty}+\bruch{1}{3}+{\infty^{3}}t_{2}}{4}})]dt_{2}
[/mm]
So da komme ich jetzt nicht weiter wegen dem [mm] \infty [/mm] im Zähler... Kann mir da einer einen Tipp geben oder sagen, was ich falsch gemacht habe:
DANKE
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:56 Fr 20.11.2009 | | Autor: | luis52 |
> So da komme ich jetzt nicht weiter wegen dem [mm]\infty[/mm] im
> Zähler... Kann mir da einer einen Tipp geben oder sagen,
> was ich falsch gemacht habe:
Ist klar, du musst bedenken, dass die gemeinsame Dichte nur fuer [mm] $|x_1|\le 1,|x_2|\le [/mm] 1$ interessant ist. Hast du die Skizze erstellt?
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:50 Fr 20.11.2009 | | Autor: | Peon |
Ist die Skizze sowas wie ein Quadrat mit Seitenlänge 2 (also von -1 bis 1) und die Fläche des Quadrates ist die VF?
Aber was hilft mir das fürs Integral?
Hast du zur b) ein Gegenbeispiel? Ich kann mir da keines zu ausdenken.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:08 Fr 20.11.2009 | | Autor: | luis52 |
> Ist die Skizze sowas wie ein Quadrat mit Seitenlänge 2
> (also von -1 bis 1) und die Fläche des Quadrates ist die
> VF?
> Aber was hilft mir das fürs Integral?
Nicht diese Flaeche. Das Volumen unter der Dichte $f_$
unterhalb und rechts von der Markierung.
| 1: | ---------- +1
| | 2: | | |
| | 3: | | x |
| | 4: | | |
| | 5: | | |
| | 6: | | |
| | 7: | ---------- -1
| | 8: | -1 +1
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>
> Hast du zur b) ein Gegenbeispiel? Ich kann mir da keines zu
> ausdenken.
Wieso ein Gegenbeispiel? Die Teilaufgabe ist doch schon abgehakt,
[mm] $X_1$ [/mm] und [mm] $X_2$ [/mm] sind nicht unabhaengig.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:34 Fr 20.11.2009 | | Autor: | Peon |
zu b) Es ist ja so, dass X und Y unabhängig sind, wenn f(x,y)=Produkt der Randdichten ist, allerdings wurde uns gesagt, dass die Umkehrung nicht gilt. Wenn also die Gleichheit nicht erfüllt ist, kann man nicht sagen, dass die nicht unabhängig sind. Daher brauchen wir ein Gegenbeispiel.
zu c) Ich verstehe nicht ganz, inwiefern die gemeinsame VF was mit der Unabhängigkeit zu tun hat, bzw. die mir die Skizze für das Integral weiterhilft?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:33 Fr 20.11.2009 | | Autor: | luis52 |
> zu b) Es ist ja so, dass X und Y unabhängig sind, wenn
> f(x,y)=Produkt der Randdichten ist, allerdings wurde uns
> gesagt, dass die Umkehrung nicht gilt. Wenn also die
> Gleichheit nicht erfüllt ist, kann man nicht sagen, dass
> die nicht unabhängig sind. Daher brauchen wir ein
> Gegenbeispiel.
*Irgendein* Gegenbeispiel oder soll die Aufgabe fuer eins herhalten?
>
> zu c) Ich verstehe nicht ganz, inwiefern die gemeinsame VF
> was mit der Unabhängigkeit zu tun hat, bzw. die mir die
> Skizze für das Integral weiterhilft?
Ich will die gemeinsame Verteilung von [mm] $(X_1^2,X_2^2)$ [/mm] aus der von
[mm] $(X_1,X_2)$ [/mm] herleiten.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:38 Fr 20.11.2009 | | Autor: | Peon |
WIe gesagt, als Tipp hatten wir die 2 Mengen angegeben. Das Gegenbeispiel soll insofern was mit der Aufgabe zu tun haben, als das es die Unabhänigkeit widerlegt.
> Ich will die gemeinsame Verteilung von [mm](X_1^2,X_2^2)[/mm] aus
> der von
> [mm](X_1,X_2)[/mm] herleiten.
Ich versteh nicht was du mir damit sagen möchtest? Wie komme ich denn dann auf die Unabhängigkeit von [mm] X^2_1 [/mm] und [mm] X^2_2
[/mm]
Vielleicht drehe ich mich auch im Kreis und sollte erst morgen mal wieder über die Aufgabe gucken ;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:25 Fr 20.11.2009 | | Autor: | nikinho |
Hi,
habe dieselbe Aufgabe.
in Teil b) kannst du glaube ich einfach ein k1 und ein k2 aus (0,1) nehmen und dann dafür zeigen, dass die Definition von Unabhängigkeit nicht erfüllt ist.
Die Lösung zu c) interessiert mich auch ;)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:02 Fr 20.11.2009 | | Autor: | luis52 |
Jetzt sind hier schon zwei  . Hallo nikinho.
Teil b) *ist* geloest, denn es wurde gezeigt, dass i.a. nicht gilt [mm] $f(x_1,x_2)=f_1(x)f_2(x)$.
[/mm]
Fuer c) muesst ihr zeigen, ob [mm] $G(u,v)=G_1(u)G_2(v)$ [/mm] bzw. [mm] $g(u,v)=g_1(u)g_2(v)$ [/mm] fuer alle [mm] $u,v\in\IR$ [/mm] gilt (Unabhaengigkeit) oder nicht.
Dabei ist $G_$ bzw. $g$ die gemeinsame Verteilungsfunktion bzw. die gemeinsame Dichte von [mm] $(U,V)=(X_1^2,X_2^2)$. $G_1,G_2$ [/mm] bzw. [mm] $g_1,g_2$ [/mm] sind die Randverteilungsfunktionen bzw. Randdichten.
Das koennte haarig werden ...
vg Luis
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Bestimme die gemeinsame Verteilung von [mm] $(X_1^2,X_2^2)$.
[/mm]