Rand, Abschluss, Inneres best. < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimme Rand, Abschluss und Inneres der folgenden Teilmengen des [mm] \IR^{n}:
[/mm]
[mm] $M_{1} [/mm] := [mm] \{x\in\IR^{n}:f(x) < 1\}$ [/mm] mit $f(x) = [mm] \begin{cases}1,\quad x\in(-1,1)^{n}\\ 0, \quad\mbox{sonst}\end{cases}$
[/mm]
[mm] $M_{2}:= \{x\in\IR^{n}:g(x) \le 1\}$ [/mm] mit $g(x) = [mm] \frac{3}{2}-f(x)$. [/mm] |
Hallo!
Folgendes habe ich mit gedacht:
[mm] M_{1} [/mm] müsste man doch auch so schreiben können:
[mm] $M_{1} [/mm] := [mm] \{x\in\IR^{n}:f(x) < 1\} [/mm] = [mm] \{x\in\IR^{n}:x\notin(-1,1)^{n}\} [/mm] = [mm] \{x\in\IR^{n}:||x||_{\infty} \ge 1 \} [/mm] = [mm] \IR^{n}\textbackslash K_{1}(0)$ [/mm] mit der Maximum-Norm.
Damit ist [mm] M_{1} [/mm] also gerade das Komplement von [mm] K_{1}(0) [/mm] und somit abgeschlossen.
--> Abschluss = [mm] M_{1} [/mm] selbst
--> Rand = Rand des Komplements = Rand von [mm] K_{1}(0) [/mm] = [mm] $\{x\in\IR^{n}:||x||_{\infty} = 1 \}$.
[/mm]
--> Inneres = [mm] $\{x\in\IR^{n}:||x||_{\infty} > 1 \}$
[/mm]
Es müsste doch [mm] M_{2} [/mm] = [mm] K_{1}(0) [/mm] (bzgl. der Maximumsnorm) sein, oder?
Danke für Eure Hilfe!
Grüße,
Stefan
PS.: [mm] K_{1}(0) [/mm] ist die (offene) Kugel um 0 mit Radius 1.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:38 Do 13.05.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo Stefan!
> Bestimme Rand, Abschluss und Inneres der folgenden
> Teilmengen des [mm]\IR^{n}:[/mm]
>
> [mm]M_{1} := \{x\in\IR^{n}:f(x) < 1\}[/mm] mit [mm]f(x) = \begin{cases}1,\quad x\in(-1,1)^{n}\\ 0, \quad\mbox{sonst}\end{cases}[/mm]
>
> [mm]M_{2}:= \{x\in\IR^{n}:g(x) \le 1\}[/mm] mit [mm]g(x) = \frac{3}{2}-f(x)[/mm].
>
> Hallo!
>
> Folgendes habe ich mit gedacht:
>
> [mm]M_{1}[/mm] müsste man doch auch so schreiben können:
>
> [mm]M_{1} := \{x\in\IR^{n}:f(x) < 1\} = \{x\in\IR^{n}:x\notin(-1,1)^{n}\} = \{x\in\IR^{n}:||x||_{\infty} \ge 1 \} = \IR^{n}\textbackslash K_{1}(0)[/mm]
> mit der Maximum-Norm.
>
> Damit ist [mm]M_{1}[/mm] also gerade das Komplement von [mm]K_{1}(0)[/mm] und
> somit abgeschlossen.
>
> --> Abschluss = [mm]M_{1}[/mm] selbst
> --> Rand = Rand des Komplements = Rand von [mm]K_{1}(0)[/mm] =
> [mm]\{x\in\IR^{n}:||x||_{\infty} = 1 \}[/mm].
> --> Inneres =
> [mm]\{x\in\IR^{n}:||x||_{\infty} > 1 \}[/mm]
>
> Es müsste doch [mm]M_{2}[/mm] = [mm]K_{1}(0)[/mm] (bzgl. der Maximumsnorm)
> sein, oder?
Ja, das sieht gut aus.
> Danke für Eure Hilfe!
>
> Grüße,
> Stefan
>
> PS.: [mm]K_{1}(0)[/mm] ist die (offene) Kugel um 0 mit Radius 1.
In der Maximumsnorm, oder auch der offene Würfel mit Schwerpunkt im Ursprung und Kantenlänge 2. 
Viele Grüße
Rainer
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Hallo Rainer,
danke für deine Antwort (und Bestätigung )!
Grüße,
Stefan
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