Raketengleichung < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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| Aufgabe | B-Exercises
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2.
A rocket has a mass M, which includes a mass m of a fuel mixture. During the burning process the combustion products are discharged at a velocity q > 0 relative to the rocket. This burning involves a loss per second of a mass p of the fuel mixture. Neglecting all external forces except a constant gravitational, show that the maximum theoretical height attained by the rocket is
[mm] \bruch{qm}{p}+\bruch{qM}{p}*ln\left( \bruch{M-m}{M}\right)+\bruch{q^2}{2g}*ln^2\left( \bruch{M-m}{M}\right) [/mm] |
Hallo,
ich finde meinen Fehler nicht. Könnte in derLösung vielleicht ein Fehler vorhanden sein?
Ich habe
Raketenmasse: M (kg)
Brennstoffmasse: m (kg)
Verlust an Brennstoffmasse: p [mm] \left(\bruch{kg}{s}=const. \right)
[/mm]
Geschwindigkeit der Verbrennungsprodukte: q (meter/s)
p=M*V
[mm] F=\bruch{dp}{dt}=M\bruch{dV}{dt}+\bruch{dM}{dt}V
[/mm]
[mm] (M-pt)\bruch{dV}{dt}-q*p=-g(M-pt)
[/mm]
[mm] \bruch{dV}{dt}=\bruch{qp}{(M-pt)}-g
[/mm]
[mm] $\int [/mm] dV = [mm] \int \left(\bruch{qp}{(M-pt)}-g\right) [/mm] / dt$
[mm] V=-q*ln|M-pt|-gt+C_1
[/mm]
V=0 bei t=0
C=q*ln|M|
V=-q*ln|M-pt|-gt+q*ln|M|
[mm] V=q*ln\left|\bruch{M}{M-pt}\right|-gt
[/mm]
Maximalgeschwindigkeit
[mm] V_{max}=q*ln\left|\bruch{M}{M-m}\right|-gt
[/mm]
Zeit [mm] t_1 [/mm] in welcher der Brennstoff augezehrt wird:
[mm] t_1=\bruch{m}{p}
[/mm]
Zeit [mm] t_2 [/mm] bis zum Hochpunkt:
V=0
[mm] t_2=\bruch{q}{g}*ln\left|\bruch{M}{M-m}\right|
[/mm]
Flughöhe:
[mm] $x=\int [/mm] V \ [mm] dt=qt+\bruch{q}{p}*(M-m)*ln\left|\bruch{M}{M-m}\right|-\bruch{1}{2}gt^2$
[/mm]
Die Verbrennungsprodukte werden bis zur Zeit [mm] t_1 [/mm] ausgestoßen.
Der Hochpunkt wird bei [mm] t_2 [/mm] erreicht.
[mm] $x=qt_1+\bruch{q}{p}*(M-m)*ln\left|\bruch{M}{M-m}\right|-\bruch{1}{2}gt^2_2$
[/mm]
[mm] $x=q*\bruch{m}{p}+\bruch{qM}{p}*ln\left|\bruch{M}{M-m}\right|-\bruch{qm}{p}*ln\left|\bruch{M}{M-m}\right|-\bruch{1}{2}g*\bruch{q^2}{g^2}*ln^2\left|\bruch{M}{M-m}\right|$
[/mm]
[mm] $x=\bruch{qM}{p}*ln\left(\bruch{M}{M-m}\right)+\bruch{qm}{p}*\left(1-ln\left(\bruch{M}{M-m}\right)\right)-\bruch{q^2}{2g}*ln^2\left(\bruch{M}{M-m}\right)$
[/mm]
So. In der Lösung oben steht aber:
[mm] \bruch{qm}{p}+\bruch{qM}{p}*ln\left( \bruch{M-m}{M}\right)+\bruch{q^2}{2g}*ln^2\left( \bruch{M-m}{M}\right)
[/mm]
Vielen Dank für's Drüberschauen.
LG, Martinius
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:17 Fr 11.06.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo Martinius
> A rocket has a mass M, which includes a mass m of a fuel
> mixture. During the burning process the combustion products
> are discharged at a velocity q > 0 relative to the rocket.
> This burning involves a loss per second of a mass p of the
> fuel mixture. Neglecting all external forces except a
> constant gravitational, show that the maximum theoretical
> height attained by the rocket is
>
> [mm]\bruch{qm}{p}+\bruch{qM}{p}*ln\left( \bruch{M-m}{M}\right)+\bruch{q^2}{2g}*ln^2\left( \bruch{M-m}{M}\right)[/mm]
>
> Hallo,
>
> ich finde meinen Fehler nicht. Könnte in derLösung
> vielleicht ein Fehler vorhanden sein?
>
> Ich habe
>
> Raketenmasse: M (kg)
>
> Brennstoffmasse: m (kg)
>
> Verlust an Brennstoffmasse: p [mm]\left(\bruch{kg}{s}=const. \right)[/mm]
>
> Geschwindigkeit der Verbrennungsprodukte: q (meter/s)
>
>
> p=M*V
>
> [mm]F=\bruch{dp}{dt}=M\bruch{dV}{dt}+\bruch{dM}{dt}V[/mm]
>
> [mm](M-pt)\bruch{dV}{dt}-q*p=-g(M-pt)[/mm]
>
> [mm]\bruch{dV}{dt}=\bruch{qp}{(M-pt)}-g[/mm]
>
> [mm]\int dV = \int \left(\bruch{qp}{(M-pt)}-g\right) / dt[/mm]
>
> [mm]V=-q*ln|M-pt|-gt+C_1[/mm]
>
> V=0 bei t=0
>
> C=q*ln|M|
>
> V=-q*ln|M-pt|-gt+q*ln|M|
>
> [mm]V=q*ln\left|\bruch{M}{M-pt}\right|-gt[/mm]
>
>
> Maximalgeschwindigkeit
>
> [mm]V_{max}=q*ln\left|\bruch{M}{M-m}\right|-gt[/mm]
>
>
> Zeit [mm]t_1[/mm] in welcher der Brennstoff augezehrt wird:
>
> [mm]t_1=\bruch{m}{p}[/mm]
Damit [mm] v(t1)=v_{max}=q*ln\left|\bruch{M}{M-m}\right|-gm/p[/mm]
[/mm]
> Zeit [mm]t_2[/mm] bis zum Hochpunkt:
>
> V=0
>
> [mm]t_2=\bruch{q}{g}*ln\left|\bruch{M}{M-m}\right|[/mm]
das seh ich nicht
v(t)= [mm] v(t1)-g*t=q*ln\left|\bruch{M}{M-m}\right|-gm/p-g*t
[/mm]
mit t=0 nach Ende der Beschl.
v(t2)=0 [mm] t2=q/g*ln\left|\bruch{M}{M-m}\right|-m/p
[/mm]
ist dein t2 die Gesamtzeit, dann ist es richtig.
>
> Flughöhe:
>
> [mm]x=\int V \ dt=qt+\bruch{q}{p}*(M-m)*ln\left|\bruch{M}{M-m}\right|-\bruch{1}{2}gt^2[/mm]
>
> Die Verbrennungsprodukte werden bis zur Zeit [mm]t_1[/mm]
> ausgestoßen.
Hier kann ich deine Rechnung nicht mehr verfolgen.
ich würde x1 Weg bis m verbraucht ist einzeln rechnen, und dazu x2 Weg ab da addieren.
mit deinem Weg, der die Wege mit und ohne Antrieb mischt komm ich nicht zurecht.
deshalb kann ich deinen Fehler -falls da einer ist- auch nicht finden
Gruss leduart
> Der Hochpunkt wird bei [mm]t_2[/mm] erreicht.
>
> [mm]x=qt_1+\bruch{q}{p}*(M-m)*ln\left|\bruch{M}{M-m}\right|-\bruch{1}{2}gt^2_2[/mm]
>
> [mm]x=q*\bruch{m}{p}+\bruch{qM}{p}*ln\left|\bruch{M}{M-m}\right|-\bruch{qm}{p}*ln\left|\bruch{M}{M-m}\right|-\bruch{1}{2}g*\bruch{q^2}{g^2}*ln^2\left|\bruch{M}{M-m}\right|[/mm]
>
> [mm]x=\bruch{qM}{p}*ln\left(\bruch{M}{M-m}\right)+\bruch{qm}{p}*\left(1-ln\left(\bruch{M}{M-m}\right)\right)-\bruch{q^2}{2g}*ln^2\left(\bruch{M}{M-m}\right)[/mm]
>
>
> So. In der Lösung oben steht aber:
>
> [mm]\bruch{qm}{p}+\bruch{qM}{p}*ln\left( \bruch{M-m}{M}\right)+\bruch{q^2}{2g}*ln^2\left( \bruch{M-m}{M}\right)[/mm]
>
>
> Vielen Dank für's Drüberschauen.
>
> LG, Martinius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:10 Sa 03.07.2010 | | Autor: | Martinius |
Hallo leduart,
besten Dank für deine Mühe. Ich habe in der Zwischenzeit das in der Aufgabenstellung enthaltene Ergebnis auch heraus.
Meine Rechnung war da etwas wirr gewesen.
LG, Martinius
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| Aufgabe | B-Exercises
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3. In addition to the gravitational force acting on the rocket of Exercise 2, there is a force due to air resistance which is proportional to the instantaneous velocity of the rocket.
(a) Find the velocity of the rocket at any time assuming that its initial velocity is zero.
(b) Determine the height of the rocket at any time.
(c) Find the maximum theoretical height attained. |
Hallo,
ich habe mich einmal an der Aufgabe (a) versucht und möchte fragen, ob da jemand einmal drüber schauen könnte, da keine Lösung angegeben ist.
M : gesamte Raketenmasse
m: Treibstoffmasse
q : const. Geschwindigkeit der Verbrennungsgase relativ zur Rakete in [m/s]
p : Massenstrom in [kg/s]
g = const.
[mm] F=m*a=F_{Schub}-G-k*v
[/mm]
[mm] $a=\dot v=\bruch{q*p}{m}-\bruch{m*g}{m}-\bruch{k}{m}*v$
[/mm]
[mm] m=m_{t}=M-p*t
[/mm]
[mm] \bruch{dv}{dt}=\bruch{q*p}{m(t)}-g-\bruch{k}{m(t)}*v
[/mm]
[mm] \bruch{dv}{dt}=\bruch{q*p}{M-p*t}-g-\bruch{k}{M-p*t}*v
[/mm]
[mm] \bruch{dv}{dt}=\bruch{q*p-k*v}{M-p*t}-g
[/mm]
[mm] $\int \bruch{1}{q*p-k*v}\ [/mm] dv = [mm] \int \bruch{1}{M-p*t} [/mm] \ dt$
[mm] $-\bruch{1}{k}*ln|qp-kv|=-\bruch{1}{p}*ln|M-pt|+ln|C|/k$
[/mm]
[mm] $ln|qp-kv|=\bruch{k}{p}*ln|M-pt|+ln|C|$
[/mm]
[mm] $qp-kv=C*(M-pt)^{k/p}$
[/mm]
[mm] $v=\bruch{qp}{k}-C*\bruch{1}{k}*(M-pt)^{k/p}$
[/mm]
Variation der Konstanten:
[mm] $v=\bruch{qp}{k}-C(t)*\bruch{1}{k}*(M-pt)^{k/p}$
[/mm]
[mm] $\dot [/mm] v=- [mm] \dot C*\bruch{1}{k}*(M-pt)^{k/p}+C(t)*(M-pt)^{k/p-1}$
[/mm]
[mm] $\dot v=\bruch{q*p}{m}-g-\bruch{k}{m}*v$
[/mm]
$- [mm] \dot C*\bruch{1}{k}*(M-pt)^{k/p}+C(t)*(M-pt)^{k/p-1}=\bruch{q*p}{M-pt}-g-\bruch{k}{M-pt}\left(\bruch{qp}{k}-C(t)*\bruch{1}{k}*(M-pt)^{k/p}\right)$
[/mm]
[mm] $-\bruch{dC}{dt}*\bruch{1}{k}*(M-pt)^{k/p}=-g$
[/mm]
[mm] $\int dC=k*g*\int (M-pt)^{-k/p} [/mm] \ dt$
[mm] $C=-\bruch{kg}{p}*\bruch{1}{1-k/p}*(M-pt)^{1-k/p}+D$
[/mm]
[mm] $C=-\bruch{kg}{p-k}*(M-pt)^{1-k/p}-\bruch{kg}{p}*D$
[/mm]
[mm] $v=\bruch{qp}{k}-C(t)*\bruch{1}{k}*(M-pt)^{k/p}$
[/mm]
[mm] $v=\bruch{qp}{k}-\left(-\bruch{kg}{p-k}*(M-pt)^{1-k/p}-\bruch{kg}{p}*D \right)*\bruch{1}{k}*(M-pt)^{k/p}$
[/mm]
[mm] $v=\bruch{qp}{k}+\bruch{g}{p-k}*(M-pt)-\bruch{g}{p}*D*(M-pt)^{k/p} [/mm] $
Vielen Dank,
LG, Martinius
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:52 Di 06.07.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich hab nicht alles nachgeprüft, aber:
> B-Exercises
>
> ....
>
> 3. In addition to the gravitational force acting on the
> rocket of Exercise 2, there is a force due to air
> resistance which is proportional to the instantaneous
> velocity of the rocket.
>
> (a) Find the velocity of the rocket at any time assuming
> that its initial velocity is zero.
>
> (b) Determine the height of the rocket at any time.
>
> (c) Find the maximum theoretical height attained.
> Hallo,
>
> ich habe mich einmal an der Aufgabe (a) versucht und
> möchte fragen, ob da jemand einmal drüber schauen
> könnte, da keine Lösung angegeben ist.
>
> M : gesamte Raketenmasse
>
> m: Treibstoffmasse
>
> q : const. Geschwindigkeit der Verbrennungsgase relativ zur
> Rakete in [m/s]
>
> p : Massenstrom in [kg/s]
>
> g = const.
>
>
> [mm]F=m*a=F_{Schub}-G-k*v[/mm]
>
> [mm]a=\dot v=\bruch{q*p}{m}-\bruch{m*g}{m}-\bruch{k}{m}*v[/mm]
>
> [mm]m=m_{t}=M-p*t[/mm]
>
> [mm]\bruch{dv}{dt}=\bruch{q*p}{m(t)}-g-\bruch{k}{m(t)}*v[/mm]
>
> [mm]\bruch{dv}{dt}=\bruch{q*p}{M-p*t}-g-\bruch{k}{M-p*t}*v[/mm]
>
> [mm]\bruch{dv}{dt}=\bruch{q*p-k*v}{M-p*t}-g[/mm]
>
> [mm]\int \bruch{1}{q*p-k*v}\ dv = \int \bruch{1}{M-p*t} \ dt[/mm]
>
> [mm]-\bruch{1}{k}*ln|qp-kv|=-\bruch{1}{p}*ln|M-pt|+ln|C|/k[/mm]
>
> [mm]ln|qp-kv|=\bruch{k}{p}*ln|M-pt|+ln|C|[/mm]
>
> [mm]qp-kv=C*(M-pt)^{k/p}[/mm]
>
> [mm]v=\bruch{qp}{k}-C*\bruch{1}{k}*(M-pt)^{k/p}[/mm]
>
> Variation der Konstanten:
>
> [mm]v=\bruch{qp}{k}-C(t)*\bruch{1}{k}*(M-pt)^{k/p}[/mm]
>
> [mm]\dot v=- \dot C*\bruch{1}{k}*(M-pt)^{k/p}+C(t)*(M-pt)^{k/p-1}[/mm]
sieht mir falsch aus:
hier wäre richtig
[mm]\dot v=- \dot C*\bruch{1}{k}*(M-pt)^{k/p}+C(t)*1/p*(M-pt)^{k/p-1}[/mm]
Dann hab ich den Rest nicht mehr durchgesehen.
> [mm]\dot v=\bruch{q*p}{m}-g-\bruch{k}{m}*v[/mm]
>
> [mm]- \dot C*\bruch{1}{k}*(M-pt)^{k/p}+C(t)*(M-pt)^{k/p-1}=\bruch{q*p}{M-pt}-g-\bruch{k}{M-pt}\left(\bruch{qp}{k}-C(t)*\bruch{1}{k}*(M-pt)^{k/p}\right)[/mm]
>
> [mm]-\bruch{dC}{dt}*\bruch{1}{k}*(M-pt)^{k/p}=-g[/mm]
>
> [mm]\int dC=k*g*\int (M-pt)^{-k/p} \ dt[/mm]
>
> [mm]C=-\bruch{kg}{p}*\bruch{1}{1-k/p}*(M-pt)^{1-k/p}+D[/mm]
>
> [mm]C=-\bruch{kg}{p-k}*(M-pt)^{1-k/p}-\bruch{kg}{p}*D[/mm]
>
>
> [mm]v=\bruch{qp}{k}-C(t)*\bruch{1}{k}*(M-pt)^{k/p}[/mm]
>
> [mm]v=\bruch{qp}{k}-\left(-\bruch{kg}{p-k}*(M-pt)^{1-k/p}-\bruch{kg}{p}*D \right)*\bruch{1}{k}*(M-pt)^{k/p}[/mm]
>
> [mm]v=\bruch{qp}{k}+\bruch{g}{p-k}*(M-pt)-\bruch{g}{p}*D*(M-pt)^{k/p}[/mm]
>
Gruss leduart
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Hallo leduart,
hab vielen Dank für deine Überprüfung!
> Hallo
> ich hab nicht alles nachgeprüft, aber:
> > B-Exercises
> >
> > ....
> >
> > 3. In addition to the gravitational force acting on the
> > rocket of Exercise 2, there is a force due to air
> > resistance which is proportional to the instantaneous
> > velocity of the rocket.
> >
> > (a) Find the velocity of the rocket at any time assuming
> > that its initial velocity is zero.
> >
> > (b) Determine the height of the rocket at any time.
> >
> > (c) Find the maximum theoretical height attained.
> > Hallo,
> >
> > ich habe mich einmal an der Aufgabe (a) versucht und
> > möchte fragen, ob da jemand einmal drüber schauen
> > könnte, da keine Lösung angegeben ist.
> >
> > M : gesamte Raketenmasse
> >
> > m: Treibstoffmasse
> >
> > q : const. Geschwindigkeit der Verbrennungsgase relativ zur
> > Rakete in [m/s]
> >
> > p : Massenstrom in [kg/s]
> >
> > g = const.
> >
> >
> > [mm]F=m*a=F_{Schub}-G-k*v[/mm]
> >
> > [mm]a=\dot v=\bruch{q*p}{m}-\bruch{m*g}{m}-\bruch{k}{m}*v[/mm]
> >
> > [mm]m=m_{t}=M-p*t[/mm]
> >
> > [mm]\bruch{dv}{dt}=\bruch{q*p}{m(t)}-g-\bruch{k}{m(t)}*v[/mm]
> >
> > [mm]\bruch{dv}{dt}=\bruch{q*p}{M-p*t}-g-\bruch{k}{M-p*t}*v[/mm]
> >
> > [mm]\bruch{dv}{dt}=\bruch{q*p-k*v}{M-p*t}-g[/mm]
> >
> > [mm]\int \bruch{1}{q*p-k*v}\ dv = \int \bruch{1}{M-p*t} \ dt[/mm]
>
> >
> > [mm]-\bruch{1}{k}*ln|qp-kv|=-\bruch{1}{p}*ln|M-pt|+ln|C|/k[/mm]
> >
> > [mm]ln|qp-kv|=\bruch{k}{p}*ln|M-pt|+ln|C|[/mm]
> >
> > [mm]qp-kv=C*(M-pt)^{k/p}[/mm]
> >
> > [mm]v=\bruch{qp}{k}-C*\bruch{1}{k}*(M-pt)^{k/p}[/mm]
> >
> > Variation der Konstanten:
> >
> > [mm]v=\bruch{qp}{k}-C(t)*\bruch{1}{k}*(M-pt)^{k/p}[/mm]
> >
> > [mm]\dot v=- \dot C*\bruch{1}{k}*(M-pt)^{k/p}+C(t)*(M-pt)^{k/p-1}[/mm]
>
> sieht mir falsch aus:
> hier wäre richtig
> [mm]\dot v=- \dot C*\bruch{1}{k}*(M-pt)^{k/p}+C(t)*1/p*(M-pt)^{k/p-1}[/mm]
>
> Dann hab ich den Rest nicht mehr durchgesehen.
> > Variation der Konstanten:
> >
> > [mm]v=\bruch{qp}{k}-C(t)*\bruch{1}{k}*(M-pt)^{k/p}[/mm]
Ich dachte, wegen der Kettenregel käme aus der Klammer noch der Faktor -p hinzu, also
[mm]\dot v=- \dot C*\bruch{1}{k}*(M-pt)^{k/p}-C(t)*\bruch{1}{k}*\bruch{k}{p}*(-p)*(M-pt)^{k/p-1}[/mm]
[mm]\dot v=- \dot C*\bruch{1}{k}*(M-pt)^{k/p}+C(t)*(M-pt)^{k/p-1}[/mm]
?
>
> > [mm]\dot v=\bruch{q*p}{m}-g-\bruch{k}{m}*v[/mm]
> >
> > [mm]- \dot C*\bruch{1}{k}*(M-pt)^{k/p}+C(t)*(M-pt)^{k/p-1}=\bruch{q*p}{M-pt}-g-\bruch{k}{M-pt}\left(\bruch{qp}{k}-C(t)*\bruch{1}{k}*(M-pt)^{k/p}\right)[/mm]
>
> >
> > [mm]-\bruch{dC}{dt}*\bruch{1}{k}*(M-pt)^{k/p}=-g[/mm]
> >
> > [mm]\int dC=k*g*\int (M-pt)^{-k/p} \ dt[/mm]
> >
> > [mm]C=-\bruch{kg}{p}*\bruch{1}{1-k/p}*(M-pt)^{1-k/p}+D[/mm]
> >
> > [mm]C=-\bruch{kg}{p-k}*(M-pt)^{1-k/p}-\bruch{kg}{p}*D[/mm]
> >
> >
> > [mm]v=\bruch{qp}{k}-C(t)*\bruch{1}{k}*(M-pt)^{k/p}[/mm]
> >
> >
> [mm]v=\bruch{qp}{k}-\left(-\bruch{kg}{p-k}*(M-pt)^{1-k/p}-\bruch{kg}{p}*D \right)*\bruch{1}{k}*(M-pt)^{k/p}[/mm]
>
> >
> >
> [mm]v=\bruch{qp}{k}+\bruch{g}{p-k}*(M-pt)-\bruch{g}{p}*D*(M-pt)^{k/p}[/mm]
> >
> Gruss leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:10 Di 06.07.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
sorrty, der Fehler war meiner!
Im Rest hab ich kenen gwefunden, ist aber ohne Garantie!
Ich hab jetzt keine Lust dazu, wenn es meine Aufgabe wr, würd ich das ergebnis in die Dgl einsetzen als Probe.
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:20 Do 08.07.2010 | | Autor: | Martinius |
Hallo leduart,
besten Dank für deinen Hinweis - auf das Naheliegenste kommt man bei dieser Hitze oft gar nicht.
LG, Martinius
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