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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:22 Mi 29.12.2004 | | Autor: | Hanno |
Hallo an alle!
Ich suche eine Herleitung für die Radon-Transformation. Insgesamt möchte ich die Computertomographie verstehen, bei der man sowohl Fourier- als auch Radontransformation benötigt. Leider habe ich bisher nur Artikel gefunden, in denen die Radontransformation vorausgesetzt wird, keinen allerdings, in dem sie halbwegs verständlich hergeleitet wird.
Vielleicht kann mir ja jemand helfen
Liebe Grüße und Danke schonmal,
Hanno
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:08 Mi 29.12.2004 | | Autor: | Hanno |
Hallo an alle!
Ich habe die Transformation jetzt verstanden, die Formel ist mit einem kleinen Bild dazu recht leicht zu verstehen. Ein Problem habe ich aber noch, dazu hier erstmal die Formel für die Radontransformierte eines Signales [mm] $b(x)=b(x_1,x_2)$ ($x^T$ [/mm] ist ein Ortsvektor):
[mm] $r(u,\varphi )={\cal{R}}\{ b(x) \}=\integral_{-\infty}^{\infty} [/mm] { [mm] \integral_{-\infty}^{\infty} [/mm] { b(x) [mm] \delta \left( x^T\cdot e_{\varphi }-u\right) [/mm] dx }}$
mit [mm] $\varphi\in [0,180°],\quad u\in \IR, e_\varphi=\vektor{cos \varphi\\ sin \varphi}$.
[/mm]
Nun mein Problem, die Definition der [mm] $\delta$-Gerade:
[/mm]
[mm] $\delta \left( x^T e_\varphi -u\right)=\left \{ \begin{array}{cc} 0 & \mbox{ für } x^T e_\varphi\not= 0\\ \infty & \mbox { für } x^T e_\varphi = 0 \end{array} \right \}$
[/mm]
In dem PDF, aus welchem ich die Formeln habe, steht, dass "die Werte des Signales $b(x)$ längs Geraden mit den Parametern u und [mm] $\varphi$ [/mm] aufsummiert werden". Aber warum gilt [mm] $\delta \left( x^T e_\varphi \right)=\infty$ [/mm] und nicht [mm] $\delta \left( x^T e_\varphi \right)=1$, [/mm] wenn ein Punkt x auf der Geraden mit der Geradengleichung [mm] $x^T e_\varphi [/mm] - u=0$ liegt? Was hat dort ein [mm] $\infty$ [/mm] verloren? Denn nehmen wir mal das Beispiel der Röntgencomputertomographie, dann könnte $b(x)$ die Abschwächung der Röngenstrahlung des Materials am Ort [mm] $x^T$ [/mm] angeben - dann wäre [mm] $b(x)\cdot [/mm] dx$ genau die Abschwächung, die ein Röntgenstrahl bei Durchquerung einer Strecke der "Länge" $dx$ erfährt - das wäre doch logischer als ein [mm] $\infty$ [/mm] :-/ ![[konfus]](/images/smileys/konfus.gif "[konfus]")
Kann mir jemand helfen?
Liebe Grüße und danke schonmal,
Hanno
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:16 So 02.01.2005 | | Autor: | Stefan |
Lieber Hanno!
Dieses [mm] $\delta$, [/mm] was dort vorkommt, ist keine Funktion im dir bekannten Sinne, sondern eine Distribution. So etwas wirst du in deinem Mathestudium kennenlernen.
Die Delta-Distribution [mm] $\delta$ [/mm] mit Schwerpunkt in [mm] $x_0$ [/mm] hat die folgende Eigenschaft:
[mm] $\int\limits_{-\infty}^{\infty} [/mm] f(x) [mm] \delta(x-x_0) \, [/mm] dx= [mm] f(x_0)$
[/mm]
für "bestimmte $f$'s", die ich dir aber nicht näher erläutern kann (hier wird zu viel an Topologie und Funktionalanalysis benötigt, die du nicht kennst).
Eine solche Funktion kann es aber nicht geben, daher definiert man sich spezielle Funktionale, sogenannte Distributionen. Gäbe es eine solche Funktion, so müsste sie notwendigerweise
[mm] $\delta(x_0)=+\infty$
[/mm]
erfüllen, da ihr Integral über die gesamte reelle Achse gleich $1$ ist, sie aber außerhalb [mm] $x_0$ [/mm] überall verschwindet. Natürlich gibt es so eine (stetige) Funktion nicht, aber um zu verdeutlichen, dass eine Delta-Distribution gemeint ist, schreibt man manchmal [mm] $\delta(x_0)=+\infty$.
[/mm]
Bei dir liegt eine [mm] $\delta$-Distribution [/mm] mit Schwerpunkt in $0$ vor. Sprich: Die ganze Masse liegt in all den $x$, die senkrecht auf dem Normalenvektor [mm] $e_{\varphi}$, [/mm] also auf der dadurch definierten Ursprungsgeraden, liegen.
Im Prinzip kannst du das leider jetzt noch nicht vollständig verstehen. Dazu bräuchtest du fundiertere Kenntnisse aus der Funktionalanalysis. Vielleicht gibt dir das ja Motivation, die beiden Analysis-Heuser und dann den Funktionalanalysis-Heuser durchzuarbeiten... 
Liebe Grüße
Stefan
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