Radiusberechnung eines Kreises < Abivorbereitung < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:03 So 22.03.2009 | | Autor: | Siemens |
| Aufgabe | Für jedes t > 0 ist eine Funktion ft gegeben durch
ft (x) = [mm] \bruch{200tx}{(x²+t²)²} [/mm] ; x [mm] \varepsilon \IR.
[/mm]
Ihr Schaubild ist Kt.
Ein Kreis mit Mittelpunkt M (8|0) und Radius r hat mit dem Schaubild K4 genau einen Punkt gemeinsam.
Bestimmen Sie den Radius r. |
Hallo zusammen,
mir stellt sich bei dieser Abi-Teilaufgabe die Frage, ob es sich bei dem Radius einfach um den y-Wert von K4 an der Stelle x = 8, also y = 1 = r handelt, oder ob die Sache komplizierter ist, weil K4 weiter fällt und somit ein Stück weiter rechts noch weitere gemeinsame Punkte mit dem Kreis hätte.
Würde mich da über eure Vorschläge freuen, da ich grad keine andere Idee habe, als den Radius auf 1 zu beziffern. Meine Überlegungen gingen schon Richtung Integral, aber da weiß ich grad auch nicht so richtig weiter, da es sich lediglich um einen Punkt handelt...
Danke!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:11 So 22.03.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Siemens,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Damit der Kreis die genannte Kurve berührt, müssen beide Kurven in diesem Berührpunkt dieselbe Steigung haben.
Speziell bei einem Kreis muss die Gerade zwischen Mittelpunkt und Berührpunkt senkrecht zur Tangentensteigung der Kurve stehen.
Sei $B \ [mm] \left( \ x_b \ | \ f_4(x_b) \ \right)$ [/mm] dieser Berührpunkt. Dann muss also gelten:
[mm] $$f_4'(x_b)*m_{MB} [/mm] \ = \ [mm] f_4'(x_b)*\bruch{f_4(x_b)-y_M}{x_b-x_M} [/mm] \ = \ ... \ = \ -1$$
Gruß
Loddar
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Hallo Siemens,
auch von mir ein herzliches Willkommen.
Außer Loddars Bemerkung gilt natürlich auch noch, dass der Berührpunkt sowohl zum Kreis [mm] y^2=r^2-(x-8)^2 [/mm] als auch zur Funktion [mm] f_4(x) [/mm] gehören muss.
Hier eine kleine Momentaufnahme des fraglichen Bereichs:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Klarer?
Grüße
reverend
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:57 So 22.03.2009 | | Autor: | Siemens |
Hallo Loddar und reverend,
vielen Dank für die nette Begrüßung!
Mit Loddars Formel habe ich nun mit Hilfe des GTRs die Lösung [mm] x_{B} [/mm] = 8,238 herausbekommen. Den dazugehörigen [mm] y_{}-Wert [/mm] erhalte ich dann wiederum über [mm] K_{4} [/mm] durch einsetzten: [mm] y_{B} [/mm] = 0,937. Die Normale an Punkt B (8,328|0,937) müsste nun also ziemlich genau durch M (8|0) gehen. Damit sollte der Radius nun r = [mm] \wurzel{(8,328-8)²+0,937²} [/mm] = 0,993 LE sein.
Danke für eure Hilfe, nun werde ich erstmal schlafen gehen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:07 So 22.03.2009 | | Autor: | abakus |
> Hallo Loddar und reverend,
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> vielen Dank für die nette Begrüßung!
>
> Mit Loddars Formel habe ich nun mit Hilfe des GTRs die
> Lösung [mm]x_{B}[/mm] = 8,238 herausbekommen. Den dazugehörigen
> [mm]y_{}-Wert[/mm] erhalte ich dann wiederum über [mm]K_{4}[/mm] durch
> einsetzten: [mm]y_{B}[/mm] = 0,937. Die Normale an Punkt B
> (8,328|0,937) müsste nun also ziemlich genau durch M (8|0)
> gehen. Damit sollte der Radius nun r =
> [mm]\wurzel{(8,328-8)²+0,937²}[/mm] = 0,993 LE sein.
Hallo,
da du mit Rundungswerten gearbeitet hast, kann der Radius eventuell 1 sein (habe nicht nachgerechnet). Du kommst auch ohne Kreisgleichung zum Ziel, wenn du das Ganze als Extremwertaufgabe betrachtest. Der gesuchte Kurvenpunkt ist derjenige mit dem kürzesten Abstand zum Kreismittelpunkt. Für diesen Abstand d gilt
[mm] d^2=(\bruch{800x}{(x²+16)²}-0)^2+(x-8)^2.
[/mm]
Mit 1. Ableitung (oder GTR) ermittelst du nun, für welches x [mm] d^2 [/mm] minimal ist.
Gruß Abakus
>
> Danke für eure Hilfe, nun werde ich erstmal schlafen gehen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:57 So 22.03.2009 | | Autor: | Siemens |
Hallo,
danke für den Vorschlag, diese Aufgabe als Extremwertaufgabe zu berechnen. Der Tiefpunkt wäre auch hier wieder bei [mm] x_{} [/mm] = 8,238. Somit ergibt sich über einen m.E. etwas leichteren Weg das selbe Ergebnis.
> Damit sollte der Radius nun r = $ [mm] \wurzel{(8,328-8)²+0,937²} [/mm] $ = 0,993 LE sein.
Hier hatte ich einen Zahlendreher, es muss heißen:
r = $ [mm] \wurzel{(8,238-8)²+0,937²} [/mm] $ = 0,967 LE
Und somit passt das auch mit dem [mm] y_{} [/mm] -Wert von dem Tiefpunkt für den Abstand d², der 0,935 ist, also d = [mm] \Wurzel{0,935} [/mm] = 0,967 LE.
Damit sollte die Aufgabe abgeschlossen sein. Vielen Dank für die super schnelle Hilfe!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:59 Mo 23.03.2009 | | Autor: | reverend |
Hallo Siemens,
genau: so stimmts.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:21 Mo 23.03.2009 | | Autor: | Siemens |
Hallo reverend,
wunderbar. Danke für die Rückmeldung :)
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