Radikal, ausgeartete Bilinearf < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es seien [mm] $\mathcal{U},\mathcal{W} \leq \mathbb{F}_5^{4 \times 1}$ [/mm] definiert durch [mm] $\mathcal{U} [/mm] := [mm] \langle \begin{pmatrix}0\\1\\0\\0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\2\\1\\0\end{pmatrix} \rangle$, \quad
[/mm]
[mm] $\mathcal{W} [/mm] := [mm] \langle \begin{pmatrix}0\\1\\0\\0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix}-2\\1\\1\\1\end{pmatrix} \rangle$\par
[/mm]
Ferner sei $A [mm] \in \mathbb{F}_5^{4 \times 4}$ [/mm] gegeben durch
$$A := [mm] \begin{pmatrix}1 &1 &-1 &2\\1& 0& 1&1\\ -1&1&1&1\\2&1&1&2\end{pmatrix}$$
[/mm]
und es sei [mm] $\Phi [/mm] : [mm] \mathbb{F}_5^{4\times 1} \times \mathbb{F}_5^{4\times 1} \to \mathbb{F}_5,\; [/mm] (x,y) [mm] \mapsto x^{tr}Ay$ [/mm] die durch $A$ definierte symmetrische Bilinearform auf [mm] $\mathbb{F}_5^{4\times 1}$.
[/mm]
(d) Bestimmen Sie das Radikal [mm] $(\mathbb{F}_5^{4\times 1})^{\perp}$ [/mm] und zeigen Sie, dass [mm] $\Phi$ [/mm] ausgeartet ist.
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Hallo
Ich weiss noch nicht so recht wie ich hier anfangen soll. Zunächst:
Das Radikal von [mm] $\Phi$ [/mm] besteht aus all denjenigen Vektoren aus $v [mm] \in [/mm] V$ für die [mm] $\Phi(v,w) [/mm] = 0 [mm] \quad \forall [/mm] w [mm] \in [/mm] V$ gilt.
Die Bilinearform [mm] $\Phi$ [/mm] ist nicht-ausgeartet genau dann, wenn ihr Radikal
nur aus dem Nullvektor besteht.
Das Problem ist, ich weiss nicht so recht wie ich - auch mit dieser Definition - das Radikal bestimmen soll.
Mein Ansatz:
Eine Basis von [mm] $(\mathbb{F}_5^{4\times 1})^{\perp}$ [/mm] ist
$B = [mm] (e_1,e_2,e_3,e_4)$ [/mm] (wobei [mm] $e_i$ [/mm] der $i$-te Einheitsvektor ist).
Sei nun $y = [mm] \begin{pmatrix}y_1\\y_2\\y_3\\y_4 \end{pmatrix}
[/mm]
Nun berechne ich [mm] $e_i [/mm] * A * y$. Ich erhalte die Zeilen von $A$. Das für Orthogonalität das Skalarprodukt 0 sein muss, erhalte somit das LGS $A=0$
Ist das der richtige Ansatz?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:03 Mo 19.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Es seien [mm]\mathcal{U},\mathcal{W} \leq \mathbb{F}_5^{4 \times 1}[/mm]
> definiert durch [mm]\mathcal{U} := \langle \begin{pmatrix}0\\1\\0\\0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\2\\1\\0\end{pmatrix} \rangle[/mm],
> [mm]\quad[/mm]
> [mm]\mathcal{W} := \langle \begin{pmatrix}0\\1\\0\\0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix}-2\\1\\1\\1\end{pmatrix} \rangle[/mm][mm] \par[/mm]
Also erstmal: was haben diese beiden UVRe denn mit der Aufgabe zu tun?!
> Ferner sei [mm]A \in \mathbb{F}_5^{4 \times 4}[/mm] gegeben durch
>
> [mm]A := \begin{pmatrix}1 &1 &-1 &2\\1& 0& 1&1\\ -1&1&1&1\\2&1&1&2\end{pmatrix}[/mm]
>
> und es sei [mm]\Phi : \mathbb{F}_5^{4\times 1} \times \mathbb{F}_5^{4\times 1} \to \mathbb{F}_5,\; (x,y) \mapsto x^{tr}Ay[/mm]
> die durch [mm]A[/mm] definierte symmetrische Bilinearform auf
> [mm]\mathbb{F}_5^{4\times 1}[/mm].
>
> (d) Bestimmen Sie das Radikal [mm](\mathbb{F}_5^{4\times 1})^{\perp}[/mm]
> und zeigen Sie, dass [mm]\Phi[/mm] ausgeartet ist.
>
> Hallo
>
> Ich weiss noch nicht so recht wie ich hier anfangen soll.
> Zunächst:
>
> Das Radikal von [mm]\Phi[/mm] besteht aus all denjenigen Vektoren
> aus [mm]v \in V[/mm] für die [mm]\Phi(v,w) = 0 \quad \forall w \in V[/mm]
> gilt.
Genau. Hier ist ja [mm] $\Phi(v, [/mm] w) = [mm] v^{tr} [/mm] A w$; durch einsetzen der Standardeinheitsvektoren fuer $w$ siehst du sofort, dass [mm] $\Phi(v, [/mm] w) = 0$ fuer alle $w [mm] \in [/mm] V$ nur sein kann, wenn [mm] $v^{tr} [/mm] A = 0$ ist. Das ist wiederum der Fall, wenn [mm] $A^{tr} [/mm] v = 0$ ist.
Also: du suchst den Kern von [mm] $A^{tr}$.
[/mm]
> Die Bilinearform [mm]\Phi[/mm] ist nicht-ausgeartet genau dann, wenn
> ihr Radikal
> nur aus dem Nullvektor besteht.
>
> Das Problem ist, ich weiss nicht so recht wie ich - auch
> mit dieser Definition - das Radikal bestimmen soll.
> Mein Ansatz:
>
> Eine Basis von [mm](\mathbb{F}_5^{4\times 1})^{\perp}[/mm] ist
> [mm]B = (e_1,e_2,e_3,e_4)[/mm] (wobei [mm]e_i[/mm] der [mm]i[/mm]-te Einheitsvektor
> ist).
>
> Sei nun $y = [mm]\begin{pmatrix}y_1\\y_2\\y_3\\y_4 \end{pmatrix}[/mm]
>
> Nun berechne ich [mm]e_i * A * y[/mm]. Ich erhalte die Zeilen von [mm]A[/mm].
Wieso willst du das tun?
> Das für Orthogonalität das Skalarprodukt 0 sein muss,
> erhalte somit das LGS [mm]A=0[/mm]
Das ist ein kein LGS.
LG Felix
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