R[X] Polynomring < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:32 Di 19.04.2005 | | Autor: | Pit |
Hallo,
sei R[X] der Polynomring über einem komm.Ring R mit 1.
Meine Frage : R[X] wird doch als Ring vom gegebenen Einselement von R erzeugt.
Jetzt lese ich aber in einem Algebra-Buch,daß R[X] von der Variablen X erzeugt wird. Wie ist das zu verstehen ?
Gruss Pit
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Hallo!
Das Problem ist, dass der Begriff "Erzeugnis" mehrfach belegt ist. Man muss sich immer fragen: "Erzeugt als was?"
Dein Algebra-Buch fasst den Ring $R[X]$ als Modul über $R$ auf. Und als solcher ist er tatsächlich nur von dem Element $X$ erzeugt.
Allgemein gilt ja: wenn $B$ ein Modul über $A$ ist, dann ist eine Menge [mm] $\{b_1, \ldots, b_n\} \subseteq [/mm] B$ ein Erzeugendensystem von $B$ (als $A$-Modul), wenn
[mm] $\left\{ \sum_{i=1}^n a_i \cdot b_i : a_i \in A \right\} [/mm] = B$
Damit ist klar, dass $R[X]$ als $R$-Modul von $X$ erzeugt wird.
Die Frage ist nur, was Du mit "als Ring erzeugt" meinst - denn nicht in jedem Ring ist die additive Gruppe zyklisch mit 1 als Erzeugendem Element, ein Polynomring ist das beste Beispiel! Anders gesprochen: man kann nie ganz [mm] $\IZ[X]$ [/mm] erzeugen, indem man die 1 aufaddiert. 
Alles klar? Bei solchen Aussagen muss man immer etwas vorsichtig sein, vor allem wenn dann da noch "endlich erzeugt" steht. Man muss sich immer fragen, ob das endlich erzeugt als Modul, Algebra oder gar Körpererweiterung ist...
Lars
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:18 Di 19.04.2005 | | Autor: | Pit |
Danke erst mal für die Antwort.Nehmen wir mal Q = Menge der rationalen Zahlen, B = Q[x] und das EZS soll ja nur X sein.Wie wird dann z.B. das konstante Polynom 4 aus Q[x] von X erzeugt ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:21 Mi 20.04.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Ich hoffe deine Frage hat sich jetzt geklärt.
[mm] $\IQ[X]$ [/mm] ist also der kleinste Ring, der [mm] $\IQ$ [/mm] und $X$ enthält. Er wird also von [mm] $\IQ$ [/mm] und $X$ erzeugt.
Ich persönlich finde die Aussage so in dem Buch daher auch verwirrend ("wird von $X$ erzeugt"), aber anscheinend ist die Bezeichnung so üblich und meint das Obige.
Viele Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:26 Di 19.04.2005 | | Autor: | Irrlicht |
Hallo Gnometech,
Ich wage mal zu bezweifeln, dass R[X] als R-Modul von X erzeugt wird. Denn weder 1 noch [mm] X^2 [/mm] liegen im R-Erzeugnis von X.
Ein R-Modul-Erzeuger wären alle X-Potenzen einschliesslich 1.
Allerdings ist X doch ein Erzeuger von R[X] (als Oberring von R) in folgendem Sinn:
Jedes Element von R[X] lässt sich darstellen als R-Linearkombination von X-Potenzen.
Dies bedeutet gerade, dass R[X] als Ring von R und X erzeugt wird.
Liebe Grüße,
Irrlicht
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:46 Mi 20.04.2005 | | Autor: | Gnometech |
Gruß!
Du hast natürlich Recht... ich komme da selbst auch oft durcheinander.
Ich meinte, dass $R[X]$ als $R$-Algebra von $X$ erzeugt wird - da kommen dann auch die Potenzen dazu.
Lars
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