R[T] Hauptidealring=>R Körper < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sei R ein kommutativer Ring, und sein R[T] ein Hauptidealring. Beweisen Sie das R ein Körper ist. |
Hat jemand ein Tipp, wie ich die das beweisen kann?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hi Stefan,
leider bekomme ich durch den Wikipedia Artikel noch keine Idee zum Beweis.
Trotzdem danke.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:53 So 18.05.2008 | | Autor: | andreas |
hi
nimm an, dass $R$ kein körper ist, dann gibt es ein $a [mm] \in [/mm] R [mm] \setminus R^\times$. [/mm] kann das ideal $(a, T)$ ein hauptideal sein?
grüße
andreas
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Also,
I = (a,T) = [mm] \left\{ r_{1}a+r_{2}T | r_{1},r_{2} \in R[T] \right\}
[/mm]
ist ein Ideal in R[T].
Wenn I ein Hauptideal ist, dann gibt es ein b [mm] \in [/mm] R[T] mit (b)=(a,T).
Offensichtlich ist grad b = 0, d.h. b [mm] \in [/mm] R.
Dann muss es ein Polynom sT vom grad 1, mit bsT=T geben, d.h. bs=1.
Wegen b [mm] \in [/mm] I, kann man b jedoch als [mm] b=r_{1}a [/mm] schreiben. Damit folgt [mm] r_{1}sa=1 [/mm] und damit ist [mm] r_{1}s [/mm] das zu a inverse Element in R.
D.h. a ist invertierbar, im Widerspruch zur Voraussetzung. Deswegen ist R ein Körper.
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http://de.wikipedia.org/wiki/Hauptidealring