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R^{2}-Menge enthält Folgen?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:17 Sa 17.05.2008
Autor: futur.perfekt

Hallo an alle!

Ich fertige gerade einen Beweis an, bin mir aber leider nicht 100%ig sicher in der Argumentation bzw. in meiner Ausdrucksweise. (Grundsätzlich sollte der Beweis aber stimmen! :-))

Ich möchte also sagen, dass [mm] A:={(\bruch{1}{n}, y): n\in\IN, y\in[-2,2]} [/mm] in [mm] X=R^{2} [/mm] _nicht_ abgeschlossen ist. Wenn A abgeschlossen wäre, müssten nämlich (laut Vorlesung) alle Grenzwerte konvergenter Folgen in A ebenfalls in A liegen.

Darf ich nun "einfach so" sagen, dass die Folgen [mm] \bruch{1}{n} [/mm] ja in A liegen, aber deren Grenzwert (0,y) nicht?

Würde mich über ein "Okay" oder eine Belehrung sehr freuen! Danke!!!

        
Bezug
R^{2}-Menge enthält Folgen?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:36 Sa 17.05.2008
Autor: rainerS

Hallo!

> Hallo an alle!
>
> Ich fertige gerade einen Beweis an, bin mir aber leider
> nicht 100%ig sicher in der Argumentation bzw. in meiner
> Ausdrucksweise. (Grundsätzlich sollte der Beweis aber
> stimmen! :-))
>  
> Ich möchte also sagen, dass [mm]A:=\{(\bruch{1}{n}, y): n\in\IN, y\in[-2,2]\}[/mm]
> in [mm]X=R^{2}[/mm] _nicht_ abgeschlossen ist. Wenn A abgeschlossen
> wäre, müssten nämlich (laut Vorlesung) alle Grenzwerte
> konvergenter Folgen in A ebenfalls in A liegen.
>
> Darf ich nun "einfach so" sagen, dass die Folgen
> [mm]\bruch{1}{n}[/mm] ja in A liegen, aber deren Grenzwert (0,y)
> nicht?

Wenn ich dich richtig verstehe, ist deine Begründung OK, deine Formulierung aber zu ungenau!

A ist eine Teilmenge des [mm] $\IR^2$, [/mm] aber die Folge $1/n$ ist eine Folge in [mm] $\IR$. [/mm] Du meinst die Folge

[mm] (1/n,y)\in\IR^2 [/mm], [mm] $n\in\IN$, [/mm] für ein beliebiges, aber festes [mm] $y\in[-2,2]$. [/mm]

Viele Grüße
   Rainer



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