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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:37 Do 15.01.2009 | | Autor: | MarkusT |
| Aufgabe | Betrachtet wird ein ROW-Verfahren für autonome Differentialgleichungen,
(I - [mm] \gamma_{j,j} [/mm] h J) [mm] k_j [/mm] = [mm] f(y_i [/mm] + h [mm] \summe_{\nu = 1}^{j-1} \alpha_{j,\nu} k_{\nu}) [/mm] + h J [mm] \summe_{\nu = 1}^{j-1} \gamma_{j,\nu} k_{\nu}
[/mm]
(j = 1, ..., s)
[mm] y_{i+1} [/mm] = [mm] y_i [/mm] + [mm] h\summe_{j=1}^{s} b_j k_j
[/mm]
mit der Jacobi-Matrix J = [mm] f_y(y_i) [/mm] und Konstanten [mm] \alpha_{j,\nu}, \gamma_{j,\nu} \el \IR [/mm] und [mm] \gamma_{j,j} \not= [/mm] 0 für alle j = 1, ..., s
(a) Zeigen Sie, dass das Verfahren für
[mm] b^t [/mm] e = 1 und [mm] b^T (\alpha [/mm] + [mm] \Gamma) [/mm] e = [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
die Ordnung 2 besitzt. Welche Ordnung liegt in diesem Fall vor, wenn nur eine inexakte Jacobi-Matrix J = fy(yi) + O(h) verwendet wird?
(b) Sei (A, b, c) ein Runge-Kutta-Verfahren mit linker unterer Dreiecksmatrix A mit det A [mm] \not=0. [/mm] Zeigen Sie, dass ein zugehöriges ROW-Verfahren mit
[mm] \alpha [/mm] = A - [mm] \Gamma,
[/mm]
[mm] \gamma_{j,j} [/mm] = [mm] a_{j,j} [/mm] und beliebigen [mm] \gamma_{j,\nu} [/mm] die gleiche Stabilitätsfunktion R(z) = 1 + z [mm] b^T [/mm] (I - z A [mm] )^{-1} [/mm] e besitzt, wie das RKV. |
Hallo,
ich komme bei dieser Aufgabe gar nicht weiter. Hat jemand einen Tipp für mich? Vielen Dank!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Mo 19.01.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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