R^2<-> Analytizität < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:13 So 08.11.2015 | | Autor: | havoc1 |
Hallo,
ich habe eine Funktion f: [mm] \IR^{2} [/mm] -> [mm] \IR, [/mm] die überall lokal als Potenzreihe geschrieben werden kann. Nun kann ich eine solche Funktion stets mit einer Funktion g: [mm] \IC [/mm] -> [mm] \IR [/mm] identifizieren. Ich bin mir nun eigentlich sicher, dass ich diese Funktion g dann auch in einer (komplexen) Potenzreihe schreiben kann. (und umgekehrt= Weiß aber zugegebenermaßen nicht wie man das kurz und prägnant begründen kann. Geht es möglicherweiße gar nicht kurz, oder gibt es ein gutes Argument?
Man kann natürlich sagen, dass f [mm] \circ [/mm] ( [mm] \Theta) [/mm] = g für einen Isomorphismus von [mm] \IC [/mm] nach [mm] \IR^{2} [/mm] und umgekehrt. Aber das ist mir nicht so wirklich ausreichend..
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:08 Mo 09.11.2015 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> ich habe eine Funktion f: [mm]\IR^{2}[/mm] -> [mm]\IR,[/mm] die überall
> lokal als Potenzreihe geschrieben werden kann. Nun kann ich
> eine solche Funktion stets mit einer Funktion g: [mm]\IC[/mm] -> [mm]\IR[/mm]
> identifizieren. Ich bin mir nun eigentlich sicher, dass ich
> diese Funktion g dann auch in einer (komplexen) Potenzreihe
> schreiben kann. (und umgekehrt= Weiß aber
> zugegebenermaßen nicht wie man das kurz und prägnant
> begründen kann. Geht es möglicherweiße gar nicht kurz,
> oder gibt es ein gutes Argument?
>
> Man kann natürlich sagen, dass f [mm]\circ[/mm] ( [mm]\Theta)[/mm] = g für
> einen Isomorphismus von [mm]\IC[/mm] nach [mm]\IR^{2}[/mm] und umgekehrt.
> Aber das ist mir nicht so wirklich ausreichend..
Ich gebe folgendes zu bedenken:
Ist $g: [mm] \IC \to \IR$ [/mm] eine Funktion, die sich in einer offenen Umgebung U von [mm] z_0 \in \IC [/mm] als Potenzreihe schreiben lässt, so ist g auf U holomorph.
Dann muss g aber auf U konstant sein. Denn wäre dies nicht der Fall, so wäre $g(U)$ eine offene Teilmenge von [mm] \IC, [/mm] was aber wegen
$g(U) [mm] \subseteq g(\IC) \subseteq \IR$
[/mm]
nicht der Fall sein kann.
Fazit: g ist auf U konstant.
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 10:03 Mo 09.11.2015 | | Autor: | havoc1 |
Ich versteh was du meinst, meine Überlegung würde implizieren, dass analytische Funktionen von [mm] R^2 [/mm] nach R immer konstant wären. Wäre es nicht zumindest möglich zu sagen eine analytische Funktion (von R2 nach R) ist der Realteil einer holomorphen Funktion? (Und man schreibt die Funktion f dann als Realteil der Potenzreihe?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:20 Do 12.11.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
