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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:17 Mi 02.12.2009 | | Autor: | xPhoenix |
| Aufgabe | Beweisen oder widerlegen Sie:
a) Es ex. eine [mm] \IR-lineare [/mm] Abbildung f: [mm] \IR^{3} [/mm] --> [mm] \IR^{2} [/mm] mit
[mm] f(\vektor{1 \\ 2 \\ 3}) [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 1}
[/mm]
[mm] f(\vektor{-2 \\ 3 \\ 1}) [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 0}
[/mm]
[mm] f(\vektor{4 \\ 1 \\ 5} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 1} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Also, ich weiß, dieses Thema scheint irgendwie sehr beliebt zu sein, ich hab auch schon massig ähnliche Fragestellungen gefunden, allerdings scheint es mir immernoch nicht wirklich klar zu sein...
Vorneweg: Wir haben noch nicht mit Matrizenmultiplikation angefangen, demnach sollen wir das wohl irgendwie mit LGS's oder Ähnlichem lösen...
Ich weiß, dass ich prüfen kann, ob es eine [mm] \IR-lineare [/mm] Abbildung ist, indem ich die Definition anwende, also
[mm] f(v_{1} [/mm] + [mm] v_{2}) [/mm] = [mm] f(v_{1}) [/mm] + [mm] f(v_{2})
[/mm]
und
f(k * [mm] v_{1}) [/mm] = [mm] k*f(v_{1})
[/mm]
mit [mm] v_{1}, v_{2} [/mm] Vektoren und k [mm] \in \IR. [/mm]
Nun stellt sich mir aber die Frage, wie ich das machen soll... die Vektoren sind ja explizit angegeben, und bilden eine Basis des [mm] \IR^{3}. [/mm] Soviel weiß ich... aber kann ich jetzt einfach 2 der Vektoren nehmen, die in die Definition der k-linearen Abbildungen einsetzen und dann irgendwas rausbekommen? Weil dann würde ja irgendwie der Funktionswert keine Rolle mehr spielen, also kann das ja auch nicht richtig sein..
Ich hoffe ich hab mich halbwegs verständlich ausgedrückt, und dass mir irgendjemand helfen kann
MfG
xPhoenix
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:36 Mi 02.12.2009 | | Autor: | fred97 |
Es ist viel einfacher, als Du glaubst. Du mußt nur wissen, was "linear" bedeutet. Und das scheint Dir klar zu sein
Nimm an, es gäbe eine lineare Abb. f mit obigen Eigenschaften
Dann ist
$ [mm] f(\vektor{1 \\ 2 \\ 3}) [/mm] $ = $ [mm] \vektor{1 \\ 1} [/mm] $
Andererseits ist $ [mm] \vektor{1 \\ 1} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 0}+\vektor{0 \\ 1}= f(\vektor{-2 \\ 3 \\ 1})+ f(\vektor{4 \\ 1 \\ 5}) [/mm] $
So, nun nutze die Linearität von f und schau , dass Du einen Widerspruch erhälst
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:45 Mi 02.12.2009 | | Autor: | xPhoenix |
Okay, das scheint wirklich einfacher zu sein, als ich gedacht habe. =)
Ich bedanke mich herzlichst und werd dann mal ein wenig beweisen bzw. widerlegen. Falls entgegen allen Erwartungen doch noch Fragen aufkommen, ruf ich laut um Hilfe.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:57 Mi 02.12.2009 | | Autor: | korbinian |
Hallo,
hier hat sich jemand verrechnet (vielleicht ich). Nach meiner Rechnung bilden die 3 Vektoren keine Basis des [mm] \IR^{3}.
[/mm]
Wären sie eine Basis, wäre durch die Angabe der Bilder der Basisvektoren eindeutig eine lineare Abbildung festgelegt.
Nur weil sie keine Basis sind, kann ein Widerspruch gefunden werden
Gruß Korbinian
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:00 Mi 02.12.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
> hier hat sich jemand verrechnet (vielleicht ich). Nach
> meiner Rechnung bilden die 3 Vektoren keine Basis des
> [mm]\IR^{3}.[/mm]
Richtig, Du hast Dich nicht verrechnet
FRED
> Wären sie eine Basis, wäre durch die Angabe der Bilder
> der Basisvektoren eindeutig eine lineare Abbildung
> festgelegt.
> Nur weil sie keine Basis sind, kann ein Widerspruch
> gefunden werden
> Gruß Korbinian
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