R-Moduln und Isomorphismus < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:31 Mi 13.06.2007 | | Autor: | Milka_Kuh |
| Aufgabe | Sei R ein Ring und [mm] M_{\alpha}, \alpha \in [/mm] I, eine Familie von R-Moduln.
Z.z: die kanonische Abb. [mm] \phi:
[/mm]
[mm] \produkt_{\alpha \in I} Hom_{R}(M_{\alpha},N) \to Hom_{R}(\oplus M_{\alpha}, [/mm] N),
die jeder Familie von Abb. [mm] (f_{\alpha})_{\alpha \in I} [/mm] die Abb. [mm] (m_{\alpha})_{\alpha \in I} \mapsto \summe_{\alpha \in I} f_{\alpha}(m_{\alpha}) [/mm] zuordnet, wohldefiniert ist und für jeden R-Modul N ein Isomorphismus ist. |
Hallo,
bei dieser Aufgabe habe ich an manchen Stellen Schwierigkeiten und hoffe, dass mir jemand weiter hilft! Dafür wäre ich sehr dankbar.
Ich habe folgendes gemacht:
Es gilt doch [mm] \phi: (f_{\alpha})_{\alpha \in I} \mapsto \psi(m_{\alpha})_{\alpha \in I} [/mm] = [mm] \summe_{\alpha \in I} f_{\alpha}(m_{\alpha}) [/mm]
Stimmt die Definition der Abb. so? Diese Abb. hab ich mir aus den Angaben zusammengebastelt, und bin mir da nicht sicher, ob das richtig ist 
Zur Wohldefiniertheit:
Gelte [mm] f_{\alpha} [/mm] = [mm] g_{\alpha}
[/mm]
[mm] \gdw f_{\alpha} [/mm] - [mm] g_{\alpha} [/mm] = 0
[mm] \gdw \summe_{\alpha \in I} (f_{\alpha} [/mm] - [mm] g_{\alpha}) (m_{\alpha}) [/mm] = 0, wegen der direkten Summe.
Hier weiß ich nicht, ob ich einfach dieses [mm] (m_{\alpha}) [/mm] dazu schreiben kann...
[mm] \gdw \summe_{\alpha \in I} f_{\alpha}(m_{\alpha}) [/mm] - [mm] \summe_{\alpha \in I} (g_{\alpha}(m_{\alpha}) [/mm] = 0
[mm] \gdw \summe_{\alpha \in I} f_{\alpha}(m_{\alpha}) [/mm] = [mm] \summe_{\alpha \in I} (g_{\alpha}(m_{\alpha})
[/mm]
[mm] \gdw \phi((f_{\alpha})_{\alpha}) [/mm] = [mm] \phi((g_{\alpha})_{\alpha})
[/mm]
Stimmt das so?
Dann zum Gruppenhomomorphismus:
[mm] \phi((f_{\alpha})_{\alpha} [/mm] + [mm] ((g_{\alpha})_{\alpha}) [/mm] = [mm] \summe_{\alpha \in I} (f_{\alpha} [/mm] + [mm] g_{\alpha}) (m_{\alpha}) [/mm] = [mm] \summe_{\alpha \in I} f_{\alpha} (m_{\alpha}) [/mm] + [mm] \summe_{\alpha \in I} g_{\alpha} (m_{\alpha}) [/mm] = [mm] \phi((f_{\alpha})_{\alpha}) [/mm] + [mm] \phi((g_{\alpha})_{\alpha})
[/mm]
Da weiß ich nicht, ob das so stimmt.
Dann zur Bijektivität von [mm] \phi:
[/mm]
Bei der Injektivität habe ich einfach den Beweis von der Wohldefiniertheit von hinten aufgezogen.
Kann man das so machen?
Zur Surjektivität:
Sei [mm] \phi((f_{\alpha})_{\alpha}) [/mm] := w
[mm] \summe_{\alpha \in I} f_{\alpha} (m_{\alpha}) [/mm] = w
Jetzt habe ich ein Problem, da ich nicht weiß, wie ich weiter machen soll. Man muss, glaub ich, eine Abb. [mm] f_{alpha} [/mm] finden, die dies erfüllt.
Aber wie geht das?
Danke schonmal für die Hilfe.
Lg, Milka
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> Sei R ein Ring und [mm]M_{\alpha}, \alpha \in[/mm] I, eine Familie
> von R-Moduln.
> Z.z: die kanonische Abb. [mm]\phi:[/mm]
> [mm]\produkt_{\alpha \in I} Hom_{R}(M_{\alpha},N) \to Hom_{R}(\oplus M_{\alpha},[/mm]
> N),
> die jeder Familie von Abb. [mm](f_{\alpha})_{\alpha \in I}[/mm] die
> Abb. [mm](m_{\alpha})_{\alpha \in I} \mapsto \summe_{\alpha \in I} f_{\alpha}(m_{\alpha})[/mm]
> zuordnet, wohldefiniert ist und für jeden R-Modul N ein
> Isomorphismus ist.
> Hallo,
> bei dieser Aufgabe habe ich an manchen Stellen
> Schwierigkeiten und hoffe, dass mir jemand weiter hilft!
> Dafür wäre ich sehr dankbar.
> Ich habe folgendes gemacht:
> Es gilt doch [mm]\phi: (f_{\alpha})_{\alpha \in I} \mapsto \psi(m_{\alpha})_{\alpha \in I}[/mm]
> = [mm]\summe_{\alpha \in I} f_{\alpha}(m_{\alpha})[/mm]
>
> Stimmt die Definition der Abb. so? Diese Abb. hab ich mir
> aus den Angaben zusammengebastelt, und bin mir da nicht
> sicher, ob das richtig ist
>
> Zur Wohldefiniertheit:
> Gelte [mm]f_{\alpha}[/mm] = [mm]g_{\alpha}[/mm]
> [mm]\gdw f_{\alpha}[/mm] - [mm]g_{\alpha}[/mm] = 0
> [mm]\gdw \summe_{\alpha \in I} (f_{\alpha}[/mm] - [mm]g_{\alpha}) (m_{\alpha})[/mm]
> = 0, wegen der direkten Summe.
> Hier weiß ich nicht, ob ich einfach dieses [mm](m_{\alpha})[/mm]
> dazu schreiben kann...
> [mm]\gdw \summe_{\alpha \in I} f_{\alpha}(m_{\alpha})[/mm] -
> [mm]\summe_{\alpha \in I} (g_{\alpha}(m_{\alpha})[/mm] = 0
> [mm]\gdw \summe_{\alpha \in I} f_{\alpha}(m_{\alpha})[/mm] =
> [mm]\summe_{\alpha \in I} (g_{\alpha}(m_{\alpha})[/mm]
> [mm]\gdw \phi((f_{\alpha})_{\alpha})[/mm]
> = [mm]\phi((g_{\alpha})_{\alpha})[/mm]
>
> Stimmt das so?
Ich glaube nicht. Ich verstehe die Wohldefiniertheit hier so, dass du zeigen sollst, dass das bild von einem [mm]f_\alpha[/mm] auch wirklich aus [mm] Hom_{R}(\oplus M_{\alpha},[/mm] stammt. Was versuchst du denn da zu zeigen?
>
> Dann zum Gruppenhomomorphismus:
> [mm]\phi((f_{\alpha})_{\alpha}[/mm] + [mm]((g_{\alpha})_{\alpha})[/mm] =
> [mm]\summe_{\alpha \in I} (f_{\alpha}[/mm] + [mm]g_{\alpha}) (m_{\alpha})[/mm]
[mm]\summe_{\alpha \in I} (f_{\alpha} + \summe_{\alpha \in I}g_{\alpha}) (m_{\alpha})[/mm]
> = [mm]\summe_{\alpha \in I} f_{\alpha} (m_{\alpha})[/mm] +
> [mm]\summe_{\alpha \in I} g_{\alpha} (m_{\alpha})[/mm] =
> [mm]\phi((f_{\alpha})_{\alpha})[/mm] + [mm]\phi((g_{\alpha})_{\alpha})[/mm]
>
> Da weiß ich nicht, ob das so stimmt.
Es stimmt alles soweit nur das du den entscheidenden Schritt übersprungen hast meiner Ansicht nach :). Das Problem hier ist nähmlich nicht das auseinander ziehen einzelner f und g sondern die Tatsache dass die Indexmenge hier nicht endlich sein muss und man dann nicht einfahc die Summen auseinander ziehen kann. Hierfür musst du noch mit der Definition der Direkten Summe argumentieren.
>
> Dann zur Bijektivität von [mm]\phi:[/mm]
> Bei der Injektivität habe ich einfach den Beweis von der
> Wohldefiniertheit von hinten aufgezogen.
> Kann man das so machen?
>
> Zur Surjektivität:
> Sei [mm]\phi((f_{\alpha})_{\alpha})[/mm] := w
> [mm]\summe_{\alpha \in I} f_{\alpha} (m_{\alpha})[/mm] = w
> Jetzt habe ich ein Problem, da ich nicht weiß, wie ich
> weiter machen soll. Man muss, glaub ich, eine Abb.
> [mm]f_{alpha}[/mm] finden, die dies erfüllt.
> Aber wie geht das?
>
> Danke schonmal für die Hilfe.
>
> Lg, Milka
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