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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:19 Mo 02.06.2014 | | Autor: | DrRiese |
| Aufgabe | | Geben Sie ein Beispiel eines Ringes R und zweier R-Moduln M,N, so dass [mm] Hom_{R}(M,N) [/mm] kein R-Modul ist. Welche der Modul-Axiome sind erfüllt und welche nicht? |
Hi,
stecke bei dieser schönen Aufgabe völlig fest. Ich komme partout nicht auf ein Beispiel. Hat jemand vllt eine nette Idee? 
VG,
der DrRiese
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Hi,
Ich würde nacheinander die Modul-Axiome zeigen und dabei beachten, ob du an irgendeiner Stelle eine besondere Eigenschaft von $ R $ benutzen musst. Indem du dann einen Ring angibst, der diese Eigenschaft nicht besitzt, hast du dein Gegenbeispiel.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:19 Mi 04.06.2014 | | Autor: | DrRiese |
Also irgendwie komme ich überhaupt nicht voran..
In einem Lemma steht:
Es sei R kommutativ. Mit den Verknüpfungen (f,g [mm] \in Hom_{R}(M,N), [/mm] a [mm] \in [/mm] R, x [mm] \in [/mm] M)
(f+g)(x):=f(x)+g(x)
(af)(x):=af(x)
wird [mm] Hom_{R}(M,N) [/mm] zu einem R-Modul.
Also ist es für mich naheliegend, für ein Gegenbeispiel einen nicht kommutativen Ring hervorzukramen. Nur ist es mir nicht ganz klar, wo die multiplikative Kommutativität ueberhaupt benötigt wird. Als Ring habe ich die quadratischen Matrizen genommen und als R-Module Polynomringe, nur bin ich da zu keinem Widerspruch gelangt
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Betrachte mal den Beweis zur Assoziativität der Skalarmultiplikation.
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