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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:35 Mi 10.11.2010 | | Autor: | physicus |
Hallo Forum!
Ich habe eine Frage zur Quotiententopologie. Dazu braucht man ja den Begriff der Quotientenabbildung, den wir wie folgt eingeführt haben:
Sei [mm] X,Y [/mm] topologische Räume, [mm] q: X \to Y [/mm] eine surjektive Abbildung. q heisst Quotiententopologie falls:
[mm] V \subset Y [/mm] ist genau dann offen, wenn [mm] q^{-1}(V) [/mm] offen in X ist.
Dann kann man die Quotiententopologie wie folgt definieren:
Sei $\ X$ ein topologischer Raum ($\ [mm] \mathcal{T}_X$ [/mm] die Topologie auf X) , Y eine Menge, [mm] q: X \to Y [/mm] surjektiv. Dann gibt es genau eine Topologie auf Y, für welche $\ q$ eine Quotientenabbildung ist.
Klarerweise definiert man diese so:
[mm] \mathcal{T}_Y = \{W \subset Y | q^{-1}(W) \in \mathcal{T}_X \} [/mm].
Das dies eine Topologie definiert kann ich beweisen. Offensichtlich ist dies auch die einzige, so wie sie definiert ist. Aber, dass q bzgl. dieser Topologie eine Quotientenabbildung ist, sehe ich nicht, obwohl es trivial sein sollte. Es sollte ja gelten:
[mm] U \subset Y, U \in \mathcal{T}_Y \gdw q^{-1}(U) \in \mathcal{T}_X [/mm]. Die Richtung "$\ [mm] \Rightarrow$" [/mm] ist ja gerade die Definition. Irgendwie sehe ich die Richtung "$\ [mm] \Leftarrow$" [/mm] nicht. Also wen ich eine offene Menge in X habe, dass diese das Bild unter q dann auch offen in Y ist. Ich danke für Erklärungen!
greetz
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> Hallo Forum!
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> Ich habe eine Frage zur Quotiententopologie. Dazu braucht
> man ja den Begriff der Quotientenabbildung, den wir wie
> folgt eingeführt haben:
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> Sei [mm]X,Y[/mm] topologische Räume, [mm]q: X \to Y[/mm] eine surjektive
> Abbildung. q heisst Quotiententopologie falls:
q heisst Quotientenabbildung falls:
>
> [mm]V \subset Y[/mm] ist genau dann offen, wenn [mm]q^{-1}(V)[/mm] offen in X
> ist.
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> Dann kann man die Quotiententopologie wie folgt
> definieren:
>
> Sei [mm]\ X[/mm] ein topologischer Raum ([mm]\ \mathcal{T}_X[/mm] die
> Topologie auf X) , Y eine Menge, [mm]q: X \to Y[/mm] surjektiv.
> Dann gibt es genau eine Topologie auf Y, für welche [mm]\ q[/mm]
> eine Quotientenabbildung ist.
>
> Klarerweise definiert man diese so:
>
> [mm]\mathcal{T}_Y = \{W \subset Y | q^{-1}(W) \in \mathcal{T}_X \} [/mm].
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> Das dies eine Topologie definiert kann ich beweisen.
> Offensichtlich ist dies auch die einzige, so wie sie
> definiert ist. Aber, dass q bzgl. dieser Topologie eine
> Quotientenabbildung ist, sehe ich nicht, obwohl es trivial
> sein sollte.
Es ist auch trivial!
> Es sollte ja gelten:
> [mm]U \subset Y, U \in \mathcal{T}_Y \gdw q^{-1}(U) \in \mathcal{T}_X [/mm].
> Die Richtung "[mm]\ \Rightarrow[/mm]" ist ja gerade die Definition.
Nein, sondern eine surjektive Abbildung [mm] $q:X\rightarrow [/mm] Y$, wobei $X,Y$ die Topologien [mm] $\mathcal{A}$ [/mm] bzw. [mm] $\mathcal{B}$ [/mm] tragen, heißt Quotientenabbildung, falls:
[mm] $\forall [/mm] U (U [mm] \in \mathcal{B} \leftrightarrow q^{-1}(U) \in \mathcal{A} \wedge U \subset Y)$ .
> Irgendwie sehe ich die Richtung "[/mm] [mm]\ \Leftarrow[/mm]" nicht. Also
> wen ich eine offene Menge in X habe, dass diese das Bild
> unter q dann auch offen in Y ist. Ich danke für
> Erklärungen!
>
> greetz
Du versuchst die Offenheit von $q$ zu beweisen. Das ist aber nicht nötig und nicht möglich.
LG mathfunnel
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