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| Aufgabe | Sei A [mm] \in\ K^{m x n}. [/mm] Das Gleichungsystem A x = b sei für alle b [mm] \in K^m [/mm] lösbar. Betrachte die Abbildung
[mm] \phi [/mm] : [mm] K^m \rightarrow K^n/{\IL_{A,0}} [/mm] mit b [mm] \mapsto \IL_{A,b}.
[/mm]
Zeige: [mm] \phi [/mm] ist eine wohldefinierte, lineare und bijektive Abbildung. |
Hallo ihr Lieben, ich wünsche Euch ein frohes neues Jahr:).
Zu meiner Aufgabe. Ich verstehe die Abbildungsvorschrift bzw. die darin vorkommenden Räume nicht und würde gerne die Lücken darüber in meinem Verständnis füllen. Unabhängig davon, ob ich das jetzt großartig für die Aufgabe brauche oder nicht, für mich ist es wichtig das zu verstehen.
Betrachte ich: [mm] \phi [/mm] : [mm] K^m \rightarrow K^n/{\IL_{A,0}}, [/mm] dann ist ja der Zielbereich ein Quotientenvektorraum. Aber ich verstehe nicht wirklich wie dieser aussehen soll. Ein Quotientenraum allgemein ist die Menge aller affinen Unterräume eines Vektorraums, ein affiner Unterraum ist sozusagen eine parallele Verschiebung des eigentlichen Untervektorraums. Ich hoffe, dass ist nicht zu ungenau geschildert? Ich habe keine Ahnung wie dieser Zielbereich aussehen soll. [mm] \IL_{A,0} [/mm] ist der Lösungsraum des homogenen Gleichungssystems A x = 0 bzw. A b = 0.
Nach der Definition von Quotientenvektorräumen würde der Zielbereich so aussehen:
[mm] K^n/{\IL_{A,0}} [/mm] := { v [mm] \in K^n [/mm] : v + [mm] \IL_{A,0} [/mm] }, wobei mir das nichts sagt bzw. ich nicht weiß, wie ich das irgendwie als wichtige Information zum lösen dieser Aufgabe nutzen kann.
Dann, mich erinnert die Abbildung [mm] \phi [/mm] : [mm] K^m \rightarrow K^n/{\IL_{A,0}} [/mm] allgemein ein wenig an eine Matrix. [mm] K^m \rightarrow K^n [/mm] , aber das hat nichts wirklich mit einer Matrix zu tun oder? Einfach nur ein m-dimensionaler Raum als Wertebereich und ein [mm] (n-dim\IL_{A,0})-dimensionaler [/mm] Raum als Zielbereich (wobei hier eine quadratische Matrix wahrscheinlich vorliegt und somit dim Wertebereich = dim Zielbereich gilt, aber dass ist nicht wichtig für mein Problem).
Liebe Grüße, ich hoffe ihr könnt mir helfen.
Euer Roughi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:02 So 15.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. wenn A eine quadratische mmatrix ist, ist [mm] L_{a,0} [/mm] nur der 0 vektor , und dein Quotientenvektorrraum ist [mm] K^m
[/mm]
dann erinnere dich daran, wie du allgemeine Lösungen der inh, gl Ax=b aus den Lösungen der homogenen + eine spezielle der inh. kriegst.
wird es dann klarer?
den rest hast du denk ich richtig geschildert.
mach das mal mit ner [mm] 3\times [/mm] 2 Matrix, etwa
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 3\\ 1 & 5 & 6 }
[/mm]
dadurch hab ich klarer gesehen.
kannst aber auch gleich allg. vorgehen.
Gruss leduart
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Wie komme ich denn darauf, dass der Quotientenvektorraum [mm] K^n/\IL_A=K^m [/mm] ist? Also ich sehe es leider nicht.
Und ich muss ja um diese Annahme nutzen zu dürfen auch dieses erst einmal beweisen, ich weiß leider nicht, wie ich an diese Aufgabe heran treten soll.
Ich versuche einfach einmal meine Gedanken zu schildern:
Normalerweiße müsste doch für eine normale Matrix eine Abbildung f: [mm] K^n \rightarrow K^m [/mm] sein oder?
Daher nehme ich an es handelt sich um eine Umkehrabbildung bzw. eine inverse Matrix? Ich denke diese Frage zeigt schon wie wenig ich mir diese Aufgabe vorstellen kann.
Im Grunde kann ich mich irgendwie selbst widerlegen, denn die Abbildungsvorschrift lautet: [mm] {\phi} [/mm] (b) = [mm] \IL_{A,b}. [/mm] ?! Heißt das [mm] {\phi } [/mm] (b) = b [mm] \forall b\in \IL_{A,b} [/mm] ?!?! Ich hänge völlig auf dem Schlauch was diese ganze Abbildung betrifft.
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> Wie komme ich denn darauf, dass der Quotientenvektorraum
> [mm]K^n/\IL_A=K^m[/mm] ist? Also ich sehe es leider nicht.
Hallo,
es ging in leduarts Bemerkung um eine quadratische Matrix, also n=m.
Wenn das LGS Ax=b für jedes [mm] b\in K^m [/mm] eine Lösung hat, dann ist [mm] Bild(A)=K^m
[/mm]
Dann hat die Matrix A den Rang m (Rang= Dimension des Bildes).
Wenn sie quadratisch ist, ist's also eine [mm] m\times [/mm] m-Matrix mit vollem Rang.
Dh, daß der Lösungsraum des zugehörigen homogenen Systems der Nullraum ist.
Also ist [mm] L_{A,0}=\{0\}.
[/mm]
Damit ist in diesem Fall [mm] K^m/L_{A,0}=K^m/\{0\}=\{v+\{0\}|v\in K^m\}=\{\{v\}|v\in K^m\}, [/mm] und dieser Raum ist isomorph zum [mm] K^m.
[/mm]
Allgemein ist [mm] K^m/L_{A,0}:=\{v+L_{A,0}|v\in K^m\}
[/mm]
> Ich versuche einfach einmal meine Gedanken zu schildern:
> Normalerweiße müsste doch für eine normale Matrix eine
> Abbildung f: [mm]K^n \rightarrow K^m[/mm] sein oder?
Wenn [mm] A\in K^{m\times n}, [/mm] dann ist die durch f(x):=Ax definierte Abbildung eine Abbildung aus dem [mm] K^n [/mm] in den [mm] K^m.
[/mm]
> Daher nehme ich an es
Was ist "es"? Sicher redest Du [mm] über\phi.
[/mm]
> Im Grunde kann ich mich irgendwie selbst widerlegen, denn
> die Abbildungsvorschrift lautet: [mm]{\phi}[/mm] (b) = [mm]\IL_{A,b}.[/mm] ?!
Die Abbildung [mm] \phi [/mm] mal in Worten erklärt:
[mm] \phi [/mm] ordnet einem jedem Vektor [mm] b\in K^m [/mm] eine Menge zu, und zwar die Lösungsmenge des inhomogenen LGS Ax=b.
Für die Aufgabe dürfte es von Belang sein, daß für die Lösungsmenge von inhomogen LGSen gilt: Lösungsmenge=spezielle Lösung + Lösungsmenge des zugehörigen homogenen Systems, in Zeichen [mm] L_{A,b}=x_s+L_{A,0}.
[/mm]
[mm] x_s [/mm] steht hier für eine Lösung von Ax=b.
LG Angela
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